¾

Transcription

1 Ì Ñ Ö ÑÓ Ð Ò Ø Ø Ø Ð Ñ Ò ØÖ Ì Ð Ö ½ Ë ÔØ Ñ Ö ½½ ¾¼½ ½ Ä ÓÖ ØÓ Ö ÈÖÓ Ð Ø Ø ÅÓ Ð Ð ØÓ Ö ÍÒ Ú Ö Ø È ÖÖ Ø Å Ö ÙÖ ÔÐ ÂÙ Ù ¹ ¼¼ È Ö º ØÖ º Ø Ð Ö ÙÔѺ Öº Ì ÒÓØ Û Ö ÛÖ ØØ Ò Ò Ô ÖØ Û Ð Ø ÁÒ Ø ØÙØ Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÍÒ Ú Ö Ø Æ Ù Ø Ð ÊÙ Ñ Ð ¹ Ö Ò ½½ À¹¾¼¼ Æ Ù Ø Ðº ËÙÔÔÓÖØ Ò Ô ÖØ Ý Ø ËÛ Æ Ø ÓÒ Ð ÓÙÒ Ø ÓÒ Ö ÒØ ¾¼¼¼¾¼¹½¾¼¾½ º

2 ¾

3 ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½º½ ËØ Ø Ø Ð Ñ Ò Ò ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ì Ñ Ö ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ò Ø ÓÒ Ò ÓÙÒ Ò Ö ÙÐØ ½½ ¾º½ Ñ Ö ÑÓ Ð Ò Ø Ð Ò ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾ Ò Ö Ý Ó ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º ÜÔÐ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º½ È ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÖÑÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º¾ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ ÓÖÑÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º ÜÔÐ Ø Ü ÑÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÓÑ ØÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó ÐÓÞ Ò Ø Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ñ Ö ÑÓ Ð ÓÒ Ò Ò Ø Ô Ö Ó Ô ÖØ Ø Ö Ô ¾½ º½ À Ø ÙÒØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º¾ È ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö Ò Ö Ý º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º½ Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º¾ Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º Ö Ò Ö Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ñ ÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ä Ñ Ø Ó ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Ö Ó Ñ ÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Æ ÛØÓÒ ÔÓÐÝ ÓÒ Ò Ú Ð Ð ÐÓÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËÙÖ Ø Ò ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÒ ØÖÙØ Ò Ñ ÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Ó Ø ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÑÓ À ÖÒ ÙÖÚ Ò ÊÓÒ Ò ÙÒØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ËÙÖ Ø Ò ÓÒ Ö Ú Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Ó Ø Ñ Ö ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÐÙØÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÙÒØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

4 º º½ ÍÒ ÓÖÑ Ñ Ö ÑÓ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÝÓÑ Ð ØØ º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Ù Ò Ö Ð Ó Ø ÔÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ÓÒÚ Ö Ò Ó Ø Ø ÙÒØ ÓÒ ØÓ Ù Ò Ö Ð º º º º º º º º º

5 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½º½ ËØ Ø Ø Ð Ñ Ò Ò ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÓ Ð ËØ Ø Ø Ð Ñ Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÓÖÝ Û ÒÐÙ Ñ Ø Ñ Ø Ð ØÓÓÐ ÓÖ Ð Ò Û Ø Ð Ö ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ð Ó Ñ Ò Û ÓÒ ÖÒ Û Ø Ø ÑÓØ ÓÒ Ó Ô ÖØ Ð ÓÖ Ó Ø Û Ò Ù Ø ØÓ ÓÖ º ËØ Ø Ø Ð Ñ Ò ÔÖÓÚ Ö Ñ ÛÓÖ ÓÖ Ö Ð Ø Ò Ø Ñ ÖÓ ÓÔ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ò Ú Ù Ð ØÓÑ Ò ÑÓÐ ÙÐ ØÓ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ ÙÐ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ñ Ø Ö Ð Ø Ø Ò Ó ÖÚ Ò Ú ÖÝ Ý Ð ÓÙÖ Ï Ô ³µº ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Ø Ø Ø Ð Ñ Ò Ñ Ø ØÙ Ý Ò Ð Ö Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ô Ý Ý Ø Ñ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø ÑÓ Ð Ö Ò Ñ ÖÓ ÓÔ ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ý Ø Ñº ËØ Ø Ø Ð Ñ Ò Ð Ó ÒÓÛÒ Ø Ø Ø Ð Ô Ý º ÁØ ÔÖ ÓÖ Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÒØÖÓ Ù ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ô Ò ÓÖ Ö ØÓ ÙÖ Ø ÐÝ ÑÓ Ð Ø ÑÓÐ ÙÐ Ö ØÖÙØÙÖ Ó Ñ Ø Ö Ð ÓÖ Ü ÑÔÐ Ô Ó ÖÓÒ ÔÓÖÓÙ Ñ Ø Ö Ð ÓÖ Û Ø Öº Ë Ò Ø 3¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ú Ö ÓÒ Ó Ñ ÒÝ ÑÓ Ð ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ö ÐÝ ØÖ Ø Ð ÑÙ ÓÖØ Ò ÔÙØ ÒØÓ Ø ØÙ Ý Ó Ø Ö 2¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÙÒØ ÖÔ Öغ Ì Ð ØØ Ö Ú Ò ÓÛÒ ØÓ Ü Ø Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ò Ø Ò Ú ÓÖ º À Ö Ö Û Ü ÑÔÐ º È ÖÓÐ Ø ÓÒº Ì ÑÓ Ð Ö Ø ÓÛ Ó Ð ÕÙ Ø ÖÓÙ ÔÓÖÓÙ Ñ Ø Ö Ðº Ì Ý Ø Ñ ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø ÑÓÐ ÙÐ Ö ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ñ Ø Ö Ðº ÓÒ Ó Ø Ö Ø Ö ÓÔ Ò Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ p ÓÖ ÐÓ Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ p Ò ÓÒ Ö ÙÑ ØÓ Ú Ò Ô Ò ÒØÐÝ ÖÓÑ ÓØ Öº Ì Ø Ó ÓÔ Ò ÓÒ Ò Ú Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ô ÖØ Ó Ø Ñ Ø Ö Ð Û ØØ Ý Ø Ð ÕÙ Ò Ø Ñ Ò Ù Ö Ø Ü Ø Ò Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ò Ò Ø ÐÙ Ø Ö Ó ÓÔ Ò º Ì Ú ÓÖ Ó Ø Ý Ø Ñ Ô Ò ÓÒ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö p Û Ò p = 0 ÐÐ Ö ÐÓ Ø Ö ÒÓ Ò Ò Ø ÐÙ Ø Ö Ò Ø Ð ÕÙ ÒÒÓØ ÓÛ Ø ÖÓÙ Ø Ñ Ø Ö Ð Û Ò p = ÐÐ Ö ÓÔ Ò Ò Ø Ö ÙÒ ÕÙ Ò Ò Ø ÐÙ Ø Ö ÐÐ Ò Ø Û ÓÐ Ö º ÇÒ Ò ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ô Ú ÐÙ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö p ÒÓÛÒ Ö Ø Ð p ÕÙ Ð ØÓ /2 ÓÖ Ø ÕÙ Ö Ö ÐÓÛ Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ú Ò Ò Ò Ò Ø ÐÙ Ø Ö Ó ÓÔ Ò ¼ Ò ÓÚ Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ø Ü Ø Ò Ò Ò ÙÒ ÕÙ º ÇÒ Ý Ø Ø Ø Ý Ø Ñ ÙÒ Ö Ó Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø p = /2º Ê Ö Ò Ã ¾ Ö Ê¼ Ï + ¼ Ï Ö¼ Ö ÓÓ ÓÖ Ð ØÙÖ ÒÓØ Ú Ò Ò ÓÚ ÖÚ Û Ó Ô ÖÓÐ Ø ÓÒ Ø ÓÖݺ Ì Á Ò ÑÓ Ðº Ì Ý Ø Ñ ÓÒ Ö Ñ Ò Ø Ñ Ó Ô ÖØ Ð Ö ØÖ Ø ØÓ Ø Ý ÓÒ Ö º Ô ÖØ Ð Ô Ò Û ÔÓ ÒØ Ø Ö ÙÔ ÓÖ ÓÛÒ Ô Ò ±µº ÓÒ ¹ ÙÖ Ø ÓÒ σ Ó Ô Ò ÓÒ Ø Û ÓÐ Ö Ò Ò Ö Ý E(σ) Û Ø ÙÑ Ó Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ

6 ÙÖ ½º½ Ò Ò Ò Ø ÐÙ Ø Ö Ó ÓÔ Ò Û Ò p = 2 º ÓÙÖØ Ý Ó Îº Ö º Ò Ö Ý ØÛ Ò Ô Ö Ó Ò ÓÖ Ò Ô Ò Ò Ó Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ý Ó Ô Ò Û Ø Ò ÜØ ÖÒ Ð Ñ Ò Ø Ð º Ì ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ σ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ e E(σ) kt Û Ö k Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ ÓÒ Ø ÒØ Ò T Ø ÜØ ÖÒ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ï Ò Ø Ö ÒÓ Ñ Ò Ø Ð Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÐÓ ØÓ 0 Ô Ò Ø Ò ØÓ Ð Ò Û Ø Ø Ö Ò ÓÖ Ò ØÝÔ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó ÐÐ + ÓÖ ÐÐ º Ï Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ú ÖÝ ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ú Ø Ñ ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ÓÙÖÖ Ò Ò ØÝÔ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ñ ÜØÙÖ Ó + Ò º Ò Ø Ö Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T c Ø Û Ø Á Ò ÑÓ Ð ÙÒ Ö Ó Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÓÖ Ö Ò ÓÖ Ö Ô º Ì Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÒ Ø Á Ò ÑÓ Ð Ù Ò ÒØÖÓ ÙØÓÖÝ Ö Ò Û ÛÓÙÐ Ù Ø Ø ÓÓ Ý ÜØ Ö Ü Ø ÓÒ Ý Å ÓÝ Ò ÏÙ ÅÏ Ø Ð ØÙÖ ÒÓØ Ý Î Ð Ò Î Ð Ò Ö Ö Ò Ø Ö Òº ÙÖ ½º¾ Ò Á Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ò T = 0.9º ÓÙÖØ Ý Ó Îº Ö º Ì ØÛÓ Ü ÑÔÐ ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÑ Ó Ø ÔÖ Ò Ô Ð ÐÐ Ò Ó 2¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø Ø Ø Ð Ñ ¹ Ò Û Ö Ò Ø Ö Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø ÑÓ Ð º ÍÒ Ö Ø Ò Ø Ú ÓÖ Ó Ø ÑÓ Ð Ò Ø Ù ¹Ö Ø Ð Ò ÙÔ Ö¹Ö Ø Ð Ö Ñ º

7 ÍÒ Ö Ø Ò Ø Ú ÓÖ Ó Ø Ý Ø Ñ Ø Ö Ø Ð Øݺ Ö Ø Ð Ý Ø Ñ Ü Ø ÙÖÔÖ Ò ¹ ØÙÖ Ò Ö Ð Ú ØÓ ÙÒ Ú Ö Ð Ò Ø Ð Ò Ð Ñ Ø º º Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ô ØÙÖ Ó Ø Ð ØØ ÓÒ Û Ø ÑÓ Ð Ò º Î ÖÝ ÔÖ ÔÖ Ø ÓÒ Û Ö Ø ¹ Ð Ý Ô Ý Ø Ò Ø Ð Ø ¼¹ ¼ Ý Ö Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ý Æ Ò Ù Ö Ý ÙÔÐ ÒØ Ö Ò Ñ ÒÝ ÓØ Ö º ÇÒ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ù Ø Ô ÓÖÛ Ö Û Ø ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ë Ö ÑѹÄÓ ÛÒ Ö ÚÓÐÙØ ÓÒ Ý Ë Ö ÑÑ Ò Ë ¼¼ ÔÖÓ ÓÒ ØÙÖ ØÓ ¹ Ö Ø Ð Ñ Ø Ò Ú ÓÖ Ó Û ÐÐ Ó Ò Ó ÖÚ Ð Ó Ö Ø Ð ÑÓ Ð º Å ÒÝ Ó Ø ÓÒ ØÙÖ Û Ö ÓÐÚ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ý Ö Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ý Ä ÛÐ Ö Ë Ö ÑÑ Ï ÖÒ Ö ÄËϼ Ò ËÑ ÖÒÓÚ ËÑ ½¼ Ð ¹ËÑ ÖÒÓÚ Ë½¾ º Ì ÑÔÓÖØ Ò Ó Ø Ö ÙÐØ Û ÒÓÛÐ Û Ø Ø ØÛÓ Ð Ñ Ð Û Ö ØÓ Ï ÖÒ Ö ¾¼¼ µ Ò ËÑ ÖÒÓÚ ¾¼½¼µº ÁÒØ Ö Ø Ò ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ô Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÑÑÙÒ Ø Ö Ñ Ö Ò Û Ø ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÛÓÖ Ó ÙÔÐ ÒØ Ö Ò Ë Ð Ë½½ º Ì Ò Ö Ð Ö Ñ ÛÓÖ ÓÖ Ø Ø Ø Ð Ñ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò º ÓÒ Ö Ò Ó Ø G ÑÓ Ø Ó Ø Ò Ö Ô µ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø Ô Ý Ð Ý Ø Ñ Ò Ò ÐÐ ÔÓ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ý Ø Ñº ÌÓ Ú ÖÝ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ σ Ò Ò Ò Ö Ý E(σ) Ø Ò Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ÓÙÖÖ Ò Ó Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ σ Ú Ò Ý Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ µ µ(σ) = e E(σ) Z(G). ÆÓØ Ø Ø Ø Ò Ö Ý Ó Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ý Ô Ö Ñ Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø ÒÚ Ö ÜØ ÖÒ Ð Ø Ñ¹ Ô Ö ØÙÖ º Ì ÒÓÑ Ò ØÓÖ Z(G) Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ò ÓÒ Ø ÒØ ÒÓÛÒ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Z(G) = σ e E(σ). Ï Ò Ø Ý Ø Ñ Ò Ò Ø Ø ÓÚ Ò Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÓÐ ÙØ Û Ó ÒÓØ Û ÒØ ØÓ ÒØ Ö ÒØÓ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ö º Ì Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ó Ø Ý Ó Ø Ó Ø Ø Ø Ð Ñ Ò º ÁÒ Ø ÒÓ ÑÙ Ó Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ú ÓÖ Ó Ø Ý Ø Ñº À Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Û Ò ØÙ Ý Ò Ù ÑÓ Ðº ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ø Ö Ö Ú ÖÝ Û ÑÓ Ð Û Ö Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ÓÒ Ü ØÐݺ À Ú Ò ÐÓ ÓÖÑ ÓÖ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÔ Ò Ø Û Ý ØÓ Ò Ò Ñ ÒÝ Ü Ø Ö ÙÐØ Ò ØÓ Ú Ò Ú ÖÝ Ô ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ú ÓÖ Ó Ø Ý Ø Ñº ÌÛÓ ÑÓÙ Ü ÑÔÐ Ö Ø 2¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Á Ò ÑÓ Ð Û Ö Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ù ØÓ ÇÒ Ö ÇÒ Ò Ø Ñ Ö ÑÓ Ð Û Ö Ø Ù ØÓ Ã Ø Ð ÝÒ Ã ½ Ã Ò Ò Ô Ò ÒØÐÝ ØÓ Ì ÑÔ ÖÐ Ý Ò Ö Ì ½ º Ì Ñ Ö ÑÓ Ð Ø Ñ Ò ØÓÔ Ó Ø Ð ØÙÖ Ò Ò Ò Ø Ò ÜØ Ø ÓÒº ½º¾ Ì Ñ Ö ÑÓ Ð Ì Ñ Ö ÑÓ Ð Û ÒØÖÓ Ù Ò Ø Ô Ý Ò Ñ Ø ÓÑÑÙÒ Ø ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÖÔØ ÓÒ Ó ¹ ØÓÑ ÑÓÐ ÙÐ ÓÒ Ø ÙÖ Ó ÖÝ Ø Ðº ÁØ Ô ÖØ Ó Ð Ö Ö Ñ ÐÝ Ó ÑÓ Ð Ö Ò Ø ÓÖÔØ ÓÒ Ó ÑÓÐ ÙÐ Ó Ö ÒØ Þ ÓÒ Ð ØØ º ÁØ Û Ö Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ô Ô Ö Ý ÓÛÐ Ö Ò ÊÙ ÖÓÓ Ê Ò ½ º Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ñ ÓÖ Ö Ø ÖÓÙ Ò Ø ØÙ Ý Ó Ø Ñ Ö ÑÓ Ð Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ý Ã Ø Ð ÝÒ Ã ½ Ã Ò Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ý Ì ÑÔ ÖÐ Ý Ò Ö Ì ½ º ÁØ ÒØ Ö Ø Ò ØÓ Ó ÖÚ Ø Ø ÓÖ ÐÓÒ Ø Ñ Ø Ô Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÑÑÙÒ Ø Û Ö ÙÒ Û Ö Ó Ø Ö Ö Ô Ø Ú Ú Ò º Å Ø Ñ Ø Ò ØÙ Ö Ð Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ü ÑÔÐ

8 Ø ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó ÒÓÒ¹ ÒØ Ö Ø Ò Ð ØØ Ô Ø Ý Å Å ÓÒ Å ¼½ Ø ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó ÓÑ ØÖ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ð Ò Ó Ö ÓÒ Ó Ø ÔÐ Ò Ý ÓÑ ÒÓ ÓÖ Ö ÓÑ º ÌÓ Ø Ø Ó ÓÙÖ ÒÓÛÐ Ø Ð ØØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Û Ö Ø ÒØÖÓ Ù Ò Ô Ô Ö Ý Ú Ò ÌÓÑ Ì º Ñ ÓÖ Ö Ø ÖÓÙ Û Ú Ò Ø Ô Ô Ö Ì Ù ¼ Ì ÙÖ ØÓÒ Û Ö Ø ÙØ ÓÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÓÑ Ù Ø Ð Ò 2¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ö Ò 3¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô º Ò Ü ÑÔÐ Ó Ö ÓÑ Ù Ø Ð Ò Ú Ò Ò ÙÖ ½º º ÙÖ ½º Ê ÓÑ Ù Ø Ð Ò º ÓÙÖØ Ý Ó Êº à ÒÝÓÒº ÁÒ Ø Ð Ø 90³ Ò ÖÐÝ 00³ ÐÓØ Ó ÔÖÓ Ö Û Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ø ÑÓ Ð Ø Ô Ô Ö Ó Ã ÒÝÓÒ Ã Ò Ã Ò¼¼ Ó Ò¹Ã ÒÝÓÒ¹ÈÖÓÔÔ Ãȼ½ ÃÙÔ Ö Ö ÃÙÔ Ã ÒÝÓÒ¹ ÈÖÓÔÔ¹Ï Ð ÓÒ ÃÈϼ¼ º ÁÒ 2006 à ÒÝÓÒ¹Ç ÓÙÒ ÓÚ¹Ë Ð ÃÇ˼ ÓÐÐÓÛ Ý Ã ÒÝÓÒ¹ Ç ÓÙÒ ÓÚ ÃǼ ÃǼ ÛÖÓØ Ö Ø ÖÓÙ Ô Ô Ö Û Ú ÙÐÐ ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ø ÑÓ Ð ÓÒ Ò Ò Ø Ô Ö Ó Ô ÖØ Ø Ö Ô º ËÙ Ô ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ô ÒÓÑ Ò Ö Ð ØÖ ÙÖ Ò Ø Ø Ø Ð Ñ Ò º ÅÝ Ó Ð ÓÖ Ø Ð ØÙÖ ØÓ ÔÖ ÒØ Ø Ö ÙÐØ Ó Ã Ø Ð ÝÒ Ì ÑÔ ÖÐ Ý Ò Ö Ó Ì ÙÖ ØÓÒ Ò Ó Ø Ô Ô Ö Ó Ã ÒÝÓÒ Ç ÓÙÒ ÓÚ Ò Ë Ð º ÝÓÙ Û ÐÐ Ø Ñ Ö ÑÓ Ð Ö Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ñ ÒÝ Ð Ó Ñ Ø Ñ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ÓÑ ØÖÝ ÓÑ Ò ØÓÖ Ò ÐÝ Ð Ö ÓÑ ØÖݺ Á Û ÐÐ ØÖÝ ØÓ Ø ÓÖÓÙ ÔÓ Ð ÙØ Ó ÓÙÖ ÓÑ Ö ÙÐØ Ö Ò Ø Ð Ó Ð Ö ÓÑ ØÖÝ Ö Ø Ð Ñ Ø Ó ÑÝ ÒÓÛÐ Ó Ø Ø Á Û ÐÐ ÓÒÐÝ

9 Ø Ø Ø Ñº ÁÒ ÓØ Ö Á Û ÐÐ ØÖÝ Ò Ú Ó ÔÖÓÓ Ø Ð Øº ÁÒ Ô Ö Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÒÓØ ÓÑ Ò Ð Ö Ô ÖØ ÖÓÑ Ø Ð ØÙÖ Ú Ò Ý Êº à ÒÝÓÒ ÓÒ Ø Ù Ø Ã Ò¼ Ã Ò º Ì Ñ Ò ÓØ Ö Ö Ö Ò Ö Ã Ì Ù ¼ ÃÇ˼ ÃǼ º

10 ½¼

11 ÔØ Ö ¾ Ò Ø ÓÒ Ò ÓÙÒ Ò Ö ÙÐØ ¾º½ Ñ Ö ÑÓ Ð Ò Ø Ð Ò ÑÓ Ð ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ò Ø Ñ Ö ÑÓ Ð Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø Ð Ò ÑÓ Ð Ù Ò Ø Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ý Ó Ø Ø Ø Ð Ñ Ò º Ì Ý Ø Ñ ÓÒ Ö Ö Ô G = (V,E) Ø Ý Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÔÐ Ò Ö ÑÔÐ ÒÓ ÐÓÓÔ Ò ÒÓ ÑÙÐØ ÔÐ µ Ò Ø ÓÖ Ò Ò Ø º ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ý Ø Ñ Ö Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ó Ø Ö Ô Gº Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ù Ø Ó Û ÓÚ Ö Ú ÖØ Ü Ü ØÐÝ ÓÒ º ÁÒ Ø Ô Ý Ð Ø Ö ØÙÖ Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ö Ð Ó Ö ÖÖ ØÓ Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ñ Ö Ò ¹ ØÓÑ ÑÓÐ ÙÐ Ö ÔÖ ÒØ Ý Ò Ó Ø Ô Ö Ø Ñ Ø Ò º Ä Ø Ù ÒÓØ Ý M(G) Ø Ø Ó ÐÐ Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ô Gº ÙÖ ¾º½ Ú Ò Ü ÑÔÐ Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ò Ø Ö Ô G Ò Ø Ù Ö Ô Ó Ø ÓÒ ÝÓÑ Ð ØØ Hº ÙÖ ¾º½ Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ù Ö Ô Ó Ø ÓÒ ÝÓÑ Ð ØØ º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø Ð Ò ÑÓ Ð Û ÓÒ Ö ÔÐ Ò Ö Ñ Ò Ó Ø Ö Ô G Ò ÙÔÔÓ Ø Ø Ø ÑÔÐÝ ÓÒÒ Ø º º Ø Ø Ø Ø ÓÒ ¹ Ð ØÓÒ Ó ÑÔÐÝ ÓÒÒ Ø ÙÒ ÓÒ Ó º ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Û Ò Û Ô Ó ÔÐ Ò Ö Ö Ô G Û ØÙ ÐÐÝ Ñ Ò Ö Ô Û Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÐ Ò Ö Ñ Ò º Ì Ø Ð Ò ÑÓ Ð Ò ÓÒ Ø Ù Ð Ö Ô G Ó Gº Ò Ñ Ò Ó Ø Ù Ð Ö Ô G Ó Ø Ò Ý Ò Ò Ú ÖØ Ü ØÓ Ú ÖÝ Ó G Ò Ó Ò Ò ØÛÓ Ú ÖØ Ó G Ý Ò Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ó G Ö Òغ Ì Ù Ð Ö Ô Û ÐÐ Ð Ó Ø ÓÙ Ø Ó Ò Ñ Ö Ô º Ï Ò Ø Ö Ô Ò Ø Û Ø Ð ØÐÝ Ö ÒØ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ð Û Ø G ØÓ Ø Ù Ð Ó G Ò Ö ÑÓÚ Ø Ú ÖØ Ü ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÓÙØ Ö Û ÐÐ ÓÒÒ Ø ØÓ Ø ÙÖ ¾º¾º Ø Ð Ó G ÔÓÐÝ ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ó ØÛÓ ÒØ ÒÒ Ö Ó G ÐÙ ØÓ Ø Öº Ø Ð Ò Ó G ÓÚ Ö Ò Ó Ø Ö Ô G Û Ø Ø Ð Ù Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ ÓÐ Ò ÒÓ ÓÚ ÖÐ Ô º ½½

12 ÙÖ ¾º¾ Ú Ò Ü ÑÔÐ Ó Ø Ð Ò Ó Ò Ø Ù Ö Ô Ó Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ð ØØ T Ø Ù Ð Ö Ô Ó Ø ÓÒ ÝÓÑ Ð ØØ º Ì Ð Ó Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ð ØØ Ö 60 ¹Ö ÓÑ Ò Ö Ð Ó ÒÓÛÒ ÐÓÞ Ò ÓÖ Ð ÓÒ º ÙÖ ¾º¾ Ù Ð Ö Ô Ó Ò Ø Ù Ö Ô Ó Ø ÓÒ ÝÓÑ Ð ØØ Ð Øµº Ù Ö Ô Ö Øµº Ì Ð Ò Ó Ø ÒÓØ Ö Ð Ð Ü ÑÔÐ Ø Ø Ð Ò ÑÓ Ð ÓÒ Ø Ö Ô Z 2 Ø Ù Ð Ó Ø Ö Ô Z 2 º Ì Ð Ö Ñ Ó ØÛÓ ÒØ ÕÙ Ö Ò Ö ÒÓÛÒ ÓÑ ÒÓ º Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ô G Ö Ò Ø ÓÒ Û Ø Ø Ð Ò Ó Ø Ö Ô G Ø ÖÓÙ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð Ó ÙÖ ¾º Ñ Ö Ó Ô Ö Ø Ñ Ø Ò ÓÒÒ Ø Ô Ö Ó ÒØ ÓÖÑ Ò Ø Ð Ó Ø Ø Ð Ò º ÁØ Ò Ý Ü Ö ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ò Ò Ø ÓÒº ÙÖ ¾º Ø ÓÒ ØÛ Ò Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ô G Ò Ø Ð Ò Ó Ø Ö Ô G º ¾º¾ Ò Ö Ý Ó ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ Ï Ð Ø G ÔÐ Ò Ö ÑÔÐ Ö Ô º ÁÒ Ø Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ø Ö Ñ Ò Ö Ó ÔØ Ö ¾ Û Ø G ØÓ Ò Ø º ËÙÔÔÓ Ø Ø Ö Ò ÔÓ Ø Ú Û Ø ÙÒØ ÓÒ ν Ø Ø Ú ÖÝ e Ó G Û Ø ν(e)º Ì Ò Ö Ý Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ M Ó G E(M) = e M logν(e). Ì Û Ø ν(m) Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ M Ó G ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ó Ñ ÒÙ Ø Ò Ö Ý ν(m) = e E(M) = ν(e). ÆÓØ Ø Ø Ý Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÛ Ò Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ø ÙÒØ ÓÒ ν Ò Ò Û Ø Ò Ø Ð Ó G ν(m) Ø Ò Ø Û Ø Ó Ø Ø Ð Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Mº ½¾ e M

13 Ï Ø Ó ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÐÐÓÛ ØÓ ÒØÖÓ Ù Ö Ò ÓÑÒ Ò Ø ÑÓ Ð Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ µ ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ ÙÖ ÓÒ Ø Ø Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ M(G) Ò Ý M M(G), µ(m) = e E(M) Z(G) = ν(m) Z(G). Ì Ø ÖÑ Z(G) Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ò ÓÒ Ø ÒØ ÒÓÛÒ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒº ÁØ Ø Û Ø ÙÑ Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø Z(G) = ν(m). M M(G) Ï Ò ν Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ô G ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ð Ò Ó Ø Ö Ô G Ò Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ ÑÔÐÝ Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÙÖ ÓÒ Ø Ø Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ º Ï Ò Ò ÐÝÞ Ò ÑÓ Ð Ó Ø Ø Ø Ð Ñ Ò Ø Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø Ø Ó ÓÑÔÙع Ò Ø Ö Ò Ö Ý Û Ñ ÒÙ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÖÓÛØ Ö Ø Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ø Þ Ó Ø Ö Ô ÒÖ º Ì ÑÓ Ø Ò ØÙÖ Ð Û Ý Ó ØØ Ò Ò Ø Ó Ð Ø ÑÓ Ð Ô ÖÑ Ø ØÓ Ó Ø Ò Ò ÜÔÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒº Ê ÐÐ Ø Ø Ø Ñ Ö ÑÓ Ð ÓÒ Ó Ø Ö Ö 2¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÓ Ð Û Ö ÐÓ ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ø Ò º Ì Ø ØÓÔ Ó Ø Ò ÜØ Ø ÓÒº ¾º ÜÔÐ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ì ÜÔÐ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ù ØÓ Ã Ø Ð ÝÒ Ã ½ Ã Ò Ò Ô Ò ÒØÐÝ ØÓ Ì ÑÔ ÖÐ Ý Ò Ö Ì ½ º ÔÖÓÓ Ó Ø Ö ÙÐØ ÔÖÓÚ Ò Ë Ø ÓÒ ¾º º½ Ò Ø Û Ö Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ö Ô G Ô ÖØ Ø º Ì ÓÒ Ó Ø ÓÙÒ Ò Ö ÙÐØ Ó Ø Ñ Ö ÑÓ Ð Ô Ú Ò Ø Û Ý ØÓ Ó Ø Ò Ò ÓØ Ö ÜÔÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ã ÒÝÓÒ³ ÐÓ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ Ã Ò Ë Ø ÓÒ ¾º º¾º ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¾º º Û ÔÖÓÚ Ò Ü ÑÔÐ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Ó Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ º ¾º º½ È ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ï Ö ØÖ Ø ÓÙÖ ÐÚ ØÓ Ø Û Ö Ø Ö Ô G Ô ÖØ Ø Ø ÔÖÓÓ Ò Ø ÒÓÒ¹ Ô ÖØ Ø Ñ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÐØ ÓÙ Ð ØØÐ ÑÓÖ ÒÚÓÐÚ º Ì ÑÔÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ô ÖØ Ø Ù ØÓ È ÖÙ È Ö º Ö Ô G = (V,E) Ô ÖØ Ø Ø Ø Ó Ú ÖØ V Ò ÔÐ Ø ÒØÓ ØÛÓ Ù Ø W B Û Ö W ÒÓØ Û Ø Ú ÖØ B Ð ÓÒ Ò Ú ÖØ Ò W Ö ÓÒÐÝ ÒØ ØÓ Ú ÖØ Ò Bº Ï ÙÔÔÓ Ø Ø W = B = n ÓÖ ÓØ ÖÛ Ø Ö Ö ÒÓ Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ó Ø Ö Ô G Ò Ñ Ö ÐÛ Ý ÓÚ Ö Ð Ò Û Ø Ú ÖØ Üº Ä Ð Ø Û Ø Ú ÖØ w,...,w n Ò Ø Ð ÓÒ b,...,b n Ò ÙÔÔÓ Ø Ø Ó G Ö ÓÖ ÒØ º Ì Ó Ó ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ô Ð Ø Ö Ò Ø ÔÖÓÓ º Ì Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÖ ÒØ Û Ø ÒÝ Ñ ØÖ Ü Ø n n Ñ ØÖ Ü K Û Ó Ð Ò Ö Ò Ü Ý Û Ø Ú ÖØ Û Ó ÓÐÙÑÒ Ö Ò Ü Ý Ð ÓÒ Ò Û Ó ÒØÖÝ K(w i,b j ) ν(w i b j ) w i b j Ò w i b j K(w i,b j ) = ν(w i b j ) w i b j Ò w i b j 0 Ø Ú ÖØ w i Ò b j Ö ÒÓØ Òغ ½

14 Ý Ò Ø ÓÒ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ø Ñ ØÖ Ü K det(k) = σ S n Ò(σ)K(w,b σ() )...K(w n,b σ(n) ), Û Ö S n Ø Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó n Ð Ñ ÒØ º Ä Ø Ù Ö Ø Ó ÖÚ Ø Ø ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ó det(k) ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Û Ø Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÙÔ ØÓ Òº Ì Ù Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó K Ñ ØÓ Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø Ó Ø ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ø ÓÒÐÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ø ÒÓØ ÐÐ Ø ÖÑ Ñ Ý ÓÙÒØ Û Ø Ø Ñ Òº ÆÓØ Ø Ø Ö Ú Ö Ò Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò w i b j Ò Ø Ò Ó K(w i,b j )º Ì Ö Ñ Ò Ö Ó Ø ÔÖÓÓ ÓÒ Ø Ò ÓÓ Ò Ò ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ó G ÐÐÓÛ Ò ØÓ ÓÑÔ Ò Ø Ò ØÙÖ Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó K Ò Ú Ø Ñ Òº Ä Ø M Ò M 2 ØÛÓ Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ó G Ö ÛÒ ÓÒ ÓÒ ØÓÔ Ó Ø ÓØ Öº Ò Ò ÐØ ÖÒ Ø Ò ÝÐ ØÓ ÝÐ Ó G Û Ó ÐØ ÖÒ Ø ØÛ Ò Ó M Ò M 2 º Ì Ò Ò ÐØ ÖÒ Ø Ò ÝÐ Ú Ò Ð Ò Ø Ò Ø Ð Ò Ø ÕÙ Ð ØÓ ¾ Ø ÝÐ ÓÙ Ð Ø Ø Ò ÓÚ Ö Ý ÓØ M Ò M 2 º Ì ÙÔ Ö ÑÔÓ Ø ÓÒ Ó M Ò M 2 ÙÒ ÓÒ Ó Ó ÒØ ÐØ ÖÒ Ø Ò ÝÐ ÙÖ ¾º º Ì Ù Ý Ò Ø ÓÒ Ó Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ú ÖØ Ü ÒØ ØÓ Ü ØÐÝ ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ò Ó Ø Ø Ò Ø ÙÔ Ö ÑÔÓ Ø ÓÒ Ó ØÛÓ Ñ Ø Ò M Ò M 2 Ú ÖØ Ü ÒØ ØÓ Ü ØÐÝ ÓÒ Ó M Ò ÓÒ Ó M 2 º M M 2 ÙÖ ¾º ËÙÔ Ö ÑÔÓ Ø ÓÒ Ó ØÛÓ Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ M Ò M 2 Ó Ù Ö Ô G Ó Ø ÓÒ ÝÓÑ Ð ØØ Hº ÇÒ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ Ø Ò M ÒØÓ Ø Ñ Ø Ò M 2 Ý Ö ÔÐ Ò Ó M Ý Ø Ó Ó M 2 Ò ÐÐ ÐØ ÖÒ Ø Ò ÝÐ Ó Ð Ò Ø 4 Ó Ø ÙÔ Ö ÑÔÓ Ø ÓÒº Ì Ù Ö Ù Ò Ý Ò ÙØ ÓÒ Ø Ù ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø Ò Ó Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó M Ò M 2 ØÓ det(k) Ø Ñ Û Ò M Ò M 2 Ö ÐÓÒ Ò Ð ÐØ ÖÒ Ø Ò ÝÐ Ó Ð Ò Ø 4º Ä Ø Ù ÙÑ Ø Ø Ø Ø ÒÓØ Ø ÙÒ ÕÙ ÝÐ Ý C Ò Ý w i,b j,...,w ik,b jk Ø Ú ÖØ Ò ÐÓ Û ÓÖ Ö ÙÖ ¾º º Ä Øσ Ö Ôº τµ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓM Ö Ôº M 2 µº Ì Ò Ý Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÛ Ò ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó Ñ Ø Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Û Ú j = σ(i ) = τ(i 2 ), j 2 = σ(i 2 ) = τ(i 3 ),..., j k = σ(i k ) = τ(i ). Á Û Ð Ø c Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÝÐ c = (i k...i ) Ø Ò Û Ù τ(i l ) = σ(i l ) = σ c(i l ). ¾º½µ ½

15 w i b jwi2 b jk b j2 w M ik C M 2... ÙÖ ¾º Ä Ð Ò Ó Ø Ú ÖØ Ó Ò Ü ÑÔÐ Ó ÙÔ Ö ÑÔÓ Ø ÓÒ ÝÐ Ó M Ò M 2 º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ø Ø Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó M Ò M 2 ØÓ det(k) Ú Ø Ñ Ò Ø Ù ØÓ Ø Ø Ø Ò Ó Ø Ö Ø Ó Ó Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú º Ì Ò Ó Ø Ö Ø Ó ÒÓØ Ý Sign(M /M 2 ) Sign(M /M 2 ) = Sign ( Ò(σ) Ò(τ) K(w i,b σ(i ))...K(w ik,b σ(ik )) K(w i,b τ(i ))...K(w ik,b τ(ik )) Û Ø Ñ Ø Ò Ó Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ø ÒÙÑ Ö ØÓÖ Ò Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖº ÆÓÛ ( ) : = Ò(σ) Ò(τ) = Ò(σ τ) = Ò(σ σ c) Ý ÕÙ Ø ÓÒ ¾º½µ = ( ) k+. ( 2 ) : = Sign( [K(w i,b σ(i ))... K(w ik,b σ(ik ))][K(w i,b τ(i ))...K(w ik,b τ(ik ))] ) = Sign ( [K(w i,b j )...K(w ik,b jk )][K(w i,b jk )...K(w ik,b jk )] ) = Sign ( K(w i,b j )K(w i,b jk )...K(w ik,b jk )K(w ik,b jk ) ) Ä Ø p Ø Ô Ö ØÝ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó Ó Ø ÝÐ C ÓÖ ÒØ ÐÓ Û º Ì ÝÐ C ØÓ ÐÓ Û Ó p = ÐÓ Û Ú Ò p = 0º Ä Ø Ù ÓÛ Ø Ø Sign(M /M 2 ) = + Ò ÓÒÐÝ p = º ÌÓ Ø ÔÙÖÔÓ Û Ö Ø Ö Ð Ø ( 2 ) Ò ( ) p º È ÖØ Ø ÓÒ W C := {w i,...,w ik } WC e Wo C Û Ö We C ÓÒ Ø Ó Û Ø Ú ÖØ Û Ø ¼ ÓÖ ¾ ÒÓÑ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ¾ ÓÖ ¼ ÓÙØ Ó Ò µ Ò WC o ÓÒ Ø Ó Û Ø Ú ÖØ Û Ø ÓÒ ÒÓÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙØ Ó Ò Ø Ò WC e + Wo C = kº Á Û Ø Ú ÖØ Ü ÐÓÒ ØÓ We C Ø ÓÒØÖ ÙØ ØÓ ( 2 ) Ò ØÓ p Û Ø Ú ÖØ Ü ÐÓÒ ØÓ WC o Ø ÓÒØÖ ÙØ ØÓ ( 2) Ò 0 ØÓ pº Ï Ø Ù Ú { ( 2 ) = ( ) Wo C ( ) p = ( ) We C ( 2 ) = ( ) k ( ) p. ÓÒ ÕÙ Ò Sign(M /M 2 ) = ( )( 2 ) = ( ) 2k+ ( ) p Ó Ø Ø Sign(M /M 2 ) ÔÓ Ø Ú Ò ÓÒÐÝ p = º º Ò ÓÒÐÝ Ø ÝÐ C ÐÓ Û Ó º ÓÐÐÓÛ Ò Ã Ø Ð ÝÒ Ã Ò ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ó G Ù Ø Ø ÐÐ ÝÐ Ó Ø Ò ÙÔ Ö ÑÔÓ Ø ÓÒ Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÐÓ Û Ó ÐÐ Ñ Ð º Ò ÓÒØÓÙÖ ÝÐ ØÓ ÝÐ ÓÙÒ Ò Ò ÒÒ Ö Ó Ø Ö Ô Gº Ã Ø Ð ÝÒ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ù Ø Ø ÐÐ ÓÒØÓÙÖ ÝÐ Ö ÐÓ Û Ó Ø Ò Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ñ Ð º Ì ÔÖÓÓ Ý Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÐÙ Ò Ø ÝÐ Ö Ö ØÓ Ø Ô Ô Ö Ã ÓÖ Ø Ð º Ò ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ó G Ù Ø Ø ÐÐ ÓÒØÓÙÖ ÝÐ Ö ÐÓ Û Ó ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý ÓÖ Ü ÑÔРʼ º ÓÒ Ö Ô ÒÒ Ò ØÖ Ó Ø Ù Ð Ö Ô G Û Ø Ú ÖØ Ü ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÓÙØ Ö Ø Ò ØÓ Ø ÖÓÓØ Ó Ø ØÖ º ÓÓ ÒÝ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ Ó G ÒÓØ ÖÓ Ý Ø Ô ÒÒ Ò ØÖ º Ì Ò Ø ÖØ ÖÓÑ Ð Ó Ø ØÖ Ò ÓÖ ÒØ ½ ),

16 Ø Ù Ð Ó Ø ÓÒÒ Ø Ò Ø Ð ØÓ Ø ØÖ Ò Ù Û Ý Ø Ø Ø ÓÒØÓÙÖ ÝÐ Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÓ Û Ó º Ê ÑÓÚ Ø Ð Ò Ø ÖÓÑ Ø ØÖ º ÁØ Ö Ø ÙÒØ Ð ÓÒÐÝ Ø ÖÓÓØ Ö Ñ Ò º Ë Ò Ø ØÖ Ô ÒÒ Ò ÐÐ Ö Ö Ý Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ý ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÒØÓÙÖ ÝÐ Ö ÐÓ Û Ó º Ã Ø Ð ÝÒ¹È ÖÙ Ñ ØÖ Ü ÓÖ ÑÔÐÝ Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü ÒÓØ Ý K Ó Ø ØÓ Ø Ö Ô G Ø ÓÖ ÒØ Û Ø ÒÝ Ñ ØÖ Ü ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ò Ñ Ð ÓÖ ÒØ Ø ÓÒº Ï Ú Ø Ù ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ì ÓÖ Ñ ½º Ã Ä Ø G Ò Ø ÔÐ Ò Ö Ô ÖØ Ø Ö Ô Û Ø Ò Ñ Ð ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ø ν ÔÓ Ø Ú Û Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ø Ò K Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Üº Ì Ò Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ö Ô G Z(G) = det(k). Ï Ò Ø Ö Ô G ÒÓØ Ô ÖØ Ø Ð Ò Ò ÓÐÙÑÒ Ó Ø ÒÝ Ñ ØÖ Ü Ö Ò Ü Ý ÐÐ Ú ÖØ Ó G Ú ÖØ ÒÒÓØ Ò ØÙÖ ÐÐÝ ÔÐ Ø ÒØÓ ØÛÓ Ù Ø µº Ý ÓÓ Ò Ò Ñ Ð ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò ÜÔÖ Ø ÕÙ Ö ÖÓÓØ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü ÓÖ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Û¹ ÝÑÑ ØÖ Ø È Ò Ó Ø Ñ Ñ ØÖ Üº ÓÖ ÑÓÖ Ø Ð Ö Ö ØÓ Ã º ¾º º¾ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ ÓÖÑÙÐ Ï Ò Ø Ö Ô G Ô ÖØ Ø Ã ÒÝÓÒ Ã Ò Ú Ò ÜÔÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø ÐÓ Ð Ø Ø Ø Ó Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ º Ä Ø K Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü Ó Ø ØÓ G Ò Ð Ø {e = w b,...,e k = w k b k } Ù Ø Ó Ó Gº Ì ÓÖ Ñ ¾º Ã Ò Ì ÔÖÓ Ð ØÝ µ(e,...,e k ) Ó {e,...,e k } ÓÙÖÖ Ò Ò Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó G Ó Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ µ ( k ) µ(e,...,e k ) = K(w i,b i ) det i,j k K (b i,w j ). ¾º¾µ i= ÈÖÓÓ º Ì Û Ø ÙÑ Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒØ Ò Ò Ø {e,...,e k } ÙÔ ØÓ Òµ Ø ÙÑ Ó ÐÐ Ø ÖÑ ÓÒØ Ò Ò K(w,b )...K(w k,b k ) Ò Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ó det(k)º Ý ÜÔ Ò Ò Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÓÒ Ð Ò ÓÖ ÓÐÙÑÒ µ Ø Ý ØÓ Ý Ò ÙØ ÓÒ Ø Ø Ø ÕÙ Ð ØÓ ( k ) K(w i,b i ) det(k E ), i= Û Ö K E Ø Ñ ØÖ Ü Ó Ø Ò ÖÓÑ K Ý Ö ÑÓÚ Ò Ø Ð Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ w,...,w k Ò Ø ÓÐÙÑÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ b,...,b k º ÆÓÛ Ý Â Ó ³ ÒØ ØÝ ÓÖ Ü ÑÔÐ À ¼ det(k E ) = det(k)det ( (K ) E ), Û Ö E Ø Ø Ó ÒÓØ Ò Eº ÇØ ÖÛ Ø Ø (K ) E Ø k k Ñ ØÖ Ü Ó Ø Ò ÖÓÑ K Ý Ô Ò Ø Ð Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ b,...,b k Ò Ø ÓÐÙÑÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ w,...,w k º Ì Ù k ) ( i= K(w ( i,b i ) det(k E ) k ) µ(e,...,e k ) = = K(w det(k) i,b i ) det ( (K ) E ). i= ½

17 Ê Ñ Ö º ÓÖÑ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ð ÔÓ ÒØ ÔÖÓ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÙÒØ Ò Ñ ÙÖ Ø Ø ÔÓ ÒØ ÔÖÓ Ù Ø Ø Ø Ó ÒØ ÔÖÓ Ð Ø Ö Ó Ø ÓÖÑ µ(e,...,e k ) = det(m(e i,e j ) i,j k ), ÓÖ ÓÑ ÖÒ Ð Mº ÁÒ Ø Ó Ô ÖØ Ø Ñ Ö M(e i,e j ) = K(w i,b j )K (b i,w j ) ËÓ ¼ ÓÖ Ò ÓÚ ÖÚ Ûº ¾º º ÜÔÐ Ø Ü ÑÔÐ ÙÖ ¾º Ú Ò Ü ÑÔÐ Ó ÔÐ Ò Ö Ô ÖØ Ø Ö Ô Û Ó Ö Ò ÔÓ Ø Ú Û Ø Ò Ò Ñ Ð ÓÖ ÒØ Ø ÓÒº w a b w a 2 b b b b 3 a a w3 b 2 b b w 4 a b 4 a, b > 0 ÙÖ ¾º ÔÐ Ò Ö Ô ÖØ Ø Ö Ô Û Ø ÔÓ Ø Ú Û Ø ÙÒØ ÓÒ Ò Ò Ñ Ð ÓÖ Ò¹ Ø Ø ÓÒº Ì ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü K = a 0 b 0 a b 0 0 b a a b 0 0 b a, Ò Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ ÕÙ Ð ØÓ det(k) = 2a 3 b+2b 3 a. Ë ØØ Ò a = b = Ý Ð Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ó Ø Ö Ô 4º ÁÒ Ø Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÙÖ ÓÒ Ø Ð Ò Ó Ø Ö Ô º Ì ÒÚ Ö Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü K K = Í Ò Ø Ð Ð Ò Ó Ø Ú ÖØ Ó ÙÖ ¾º Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ Û ÓÑÔÙØ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ÓÙÖÖ Ò Ó ÓÑ Ù Ø Ó. µ(w b ) = K (b,w ) = 2 µ(w 3 b ) = K (b,w 3 ) = ( 4 µ(w b,w 3 b 4 ) = K det (b,w ) K (b,w 3 ) K (b 4,w ) K (b 4,w 3 ) ) = 6 ( 2 det 2 ) = 4. ½

18 ÓÙ Ò ØÖÝ Ò ÓÑÔÙØ ÓØ Ö ÔÖÓ Ð Ø º ÁÒ Ø ÑÔÐ Ø ØÙ ÐÐÝ Ö ØÓ ÜÔÐ ØÐÝ Ò ÐÐ ÔÓ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ 4 Ó Ø Ñµ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÔÖÓ Ð Ø º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ó Ð Ó Ø Ü ÑÔÐ ØÓ ÓÛ ÓÛ ØÓ Ù Ø Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ º ¾º ÓÑ ØÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó ÐÓÞ Ò Ø Ð Ò Ý Ñ Ò Ó Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ì ÙÖ ØÓÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ÐÓÞ Ò Ø Ð Ò Ó Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ð ØØ Ö Ø ÙÖ Ò ÖÓØ Ø Ú Ö ÓÒ Ó Z 3 ÔÖÓ Ø ÓÒØÓ Ø ÔÐ Ò º À Ú Ñ Ð Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó ÓÑ ÒÓ Ø Ð Ò Ó Ø ÕÙ Ö Ð ØØ º Ì ÔÔÖÓ Ò Ò Ö Ð Þ ØÓ Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ô ÖØ Ø Ö Ô Ù Ò ÓÛ º Ì Ý Ð Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ö ÑÓ Ð ÓÒ Ô ÖØ Ø Ö Ô Ö Ò ÓÑ ÒØ Ö ÑÓ Ð Ò Ñ Ò ÓÒ 2+ Ò Ó Ö ÑÓÖ Ò Ø ÒØÓ Ø ÑÓ Ðº ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ü Ø Ì ÙÖ ØÓÒ³ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÒ ÐÓÞ Ò Ø Ð Ò º Ï ÔÓ ØÔÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ò Ö Ð Ô ÖØ Ø Ö Ô ÙÒØ Ð Ë Ø ÓÒ º½º Ó Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ð ØØ T Ò ÓÐÓÖ Ò Ð Ò Û Ø Ó Ø Ø Ð Ö Ôº Û Ø ÓÒ µ Ö ÓÒÐÝ ÒØ ØÓ Û Ø ÓÒ Ö Ôº Ð ÓÒ µº Ì ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø Ø Ø Ø Ø Ù Ð Ö Ô Ø ÓÒ ÝÓÑ Ð ØØ Ô ÖØ Ø º ÇÖ ÒØ Ø Ð ÓÙÒØ ÖÐÓ Û Ò Ø Û Ø ÓÒ ÐÓ Û ÙÖ ¾º Рصº ÓÒ Ö Ò Ø Ù Ö Ô X Ó T Û Ø Ð Ð Ý ÐÓÞ Ò Ò ÐÓÞ Ò Ø Ð Ò T Ó Xº Ì Ò Ø Ø ÙÒØ ÓÒ h T Ò ÒØ Ö Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ú ÖØ Ó X Ò Ò ÙØ Ú ÐÝ ÓÐÐÓÛ Ü Ú ÖØ Ü v 0 Ó X Ò Ø h T (v 0 ) = 0º ÓÖ Ú ÖÝ ÓÙÒ ÖÝ uv Ó ÐÓÞ Ò h T (v) h T (u) = + Ø uv ÓÖ ÒØ ÖÓÑ u ØÓ v ÑÔÐÝ Ò Ø Ø h T (v) h T (u) = Û Ò Ø uv ÓÖ ÒØ ÖÓÑ v ØÓ uº Ì Ø ÙÒØ ÓÒ Û ÐÐ Ò Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ø Ò ÖÓÙÒ ÒÝ ÓÖ ÒØ ÝÐ ¼º Ò Ü ÑÔÐ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ú Ò Ò ÙÖ ¾º Ö Øµº v ÙÖ ¾º ÇÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ó Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ð ØØ Ð Øµº À Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ÐÓÞ Ò Ø Ð Ò Ö Øµº ½

19 ÓÒ ÕÙ Ò ÐÓÞ Ò Ø Ð Ò Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÔÔ ÙÖ Ò Z 3 ÔÖÓ Ø ÓÒØÓ Ø ÔÐ Ò Û Ö Z 3 Z 3 ÖÓØ Ø Ó Ø Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ù Ö ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ Ø ÔÐ Ò º Ì Ø ÙÒØ ÓÒ Ø Ò ÑÔÐÝ Ø Ø Ó Ø ÙÖ º º Ø Ö ÓÓÖ Ò Ø µº Ì ÓÒ ØÖÙ¹ Ø ÓÒ Ú Ñ Ø Ñ Ø Ð Ò ØÓ Ø ÒØÙ Ø Ú Ð Ò Ó Ù Ø Ò Ò ÓÖ ÓÙØ Û ØÖ Ù Û Ò Û Ø Ò Ô ØÙÖ Ó ÐÓÞ Ò Ø Ð Ò º À Ø ÙÒØ ÓÒ Ö Ø Ö Þ ÐÓÞ Ò Ø Ð Ò Ø Ø Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ º Ä ÑÑ º Ä Ø X Ò Ø ÑÔÐÝ ÓÒÒ Ø Ù Ö Ô Ó Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ð ØØ T Û Ø Ð Ð Ý ÐÓÞ Ò º Ä Ø h Ò ÒØ Ö Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ø Ú ÖØ Ó X Ø Ý Ò h(v 0 ) = 0 Û Ö v 0 Ü Ú ÖØ Ü Ó Xº h(v) h(u) = ÓÖ ÒÝ ÓÙÒ ÖÝ uv Ó X ÓÖ ÒØ ÖÓÑ u ØÓ vº h(v) h(u) = ÓÖ 2 ÓÖ ÒÝ ÒØ Ö ÓÖ uv Ó X ÓÖ ÒØ ÖÓÑ u ØÓ vº Ì Ò Ø Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò ÙÒØ ÓÒ h Ø Ý Ò Ø ØÛÓ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ó Xº ÈÖÓÓ º Ä Ø T ÐÓÞ Ò Ø Ð Ò Ó X Ò Ð Ø uv Ò Ó X ÓÖ ÒØ ÖÓÑ u ØÓ vº Ì Ò Ø uv Ø Ö ÓÙÒ ÖÝ ÓÖ ÓÒ Ð Ó ÐÓÞ Ò º Ý Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ò Ò Ø Ö Ø Ò 2 Ò Ø ÓÒ º ÓÒÚ Ö ÐÝ Ð Ø h Ò ÒØ Ö ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ð ÑÑ º Ä Ø Ù ÓÒ ØÖÙØ Ø Ð Ò T Û Ó Ø ÙÒØ ÓÒ hº ÓÒ Ö Ð Ó X Ø Ò Ø Ö Ü ØÐÝ ÓÒ uv ÓÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø Û Ó Ø Ò 2º ÌÓ Ø Û Ó Ø Ø ÐÓÞ Ò Û ÖÓ Ý Ø uvº Ê Ô Ø Ò Ø ÔÖÓ ÙÖ ÓÖ ÐÐ Ð Ý Ð Ø Ð Ò Ó Xº Ì ÙÖ ØÓÒ Ì Ù ¼ Ù Ø ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ø ÖÑ Ò Û Ø Ö Ù Ö Ô Ó Ø ØÖ Ò¹ ÙÐ Ö Ð ØØ Ò Ø Ð Ý ÐÓÞ Ò º Ê Ö ØÓ Ø Ô Ô Ö ÓÖ Ø Ð º ½

20 ¾¼

21 ÔØ Ö Ñ Ö ÑÓ Ð ÓÒ Ò Ò Ø Ô Ö Ó Ô ÖØ Ø Ö Ô Ì ÔØ Ö ÚÓØ ØÓ Ø Ô Ô Ö Ñ Ö Ò ÑÓ ÃÇ˼ Ý Ã ÒÝÓÒ Ç ÓÙÒ ÓÚ Ò Ë Ð º Ê ÐÐ Ø Ø Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ ¹ ØÓÑ ÑÓÐ ÙÐ º Ë Ò Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ú ÓÖ Ó Ø Ý Ø Ñ ÓÙÖ Ó Ð ØÓ ØÙ Ý Ø ÑÓ Ð ÓÒ Ú ÖÝ Ð Ö Ö Ô º ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ø Ö ØÓ ÜØÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÑÓ Ð Ò ÓÒ Ò Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ö Ø Ò Ú ÖÝ Ð Ö ÓÒ º ÁÒ ÓÒ Ú ÖÝ Ð Ö ÙØ Ò Ø Ö Ô Ã Ø Ð ÝÒ³ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ÓÒ ÙØ ÒÚÓÐÚ ÓÑÔÙØ Ò Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ù Ñ ØÖ Û Ó ÓÙÖ Ú ÖÝ Ö Ò Ò Ö Ð Ò ÛÓÒ³Ø Ø ÐÐ Ù ÑÙ ÓÙØ Ø Ý Ø Ñº ÓÑÔÙØ Ò ÜÔÐ ØÐÝ Ø ÐÓ Ð Ø Ø Ø Ó Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ ÓÑ Ö ÐÝ ØÖ Ø Ð Ò Ø Ö ÕÙ Ö ÒÚ ÖØ Ò Ú ÖÝ Ð Ö Ñ ØÖ º Ì ÑÓØ Ú Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÖÓ Ñ Ôº ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ô G = (V,E) ÑÔÐ ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ø Ô ÖØ Ø Ò Z 2 ¹Ô Ö Ó º Ì Ñ Ò Ø Ø G Ñ Ò Ø ÔÐ Ò Ó Ø Ø ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ø Ý ÓÐÓÖ¹ÔÖ ÖÚ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ó G º º ÓÑÓÖÔ Ñ Û Ñ Ô Ð Ú ÖØ ØÓ Ð ÓÒ Ò Û Ø Ú ÖØ ØÓ Û Ø ÓÒ º ÓÖ Ð Ø Ö ÔÙÖÔÓ Û ÓÒ Ö Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ð ØØ Z 2 ØÓ Ù Ö Ô Ó Ø Ù Ð Ö Ô G Ò Ü {e x,e y } ÐÐÓÛ Ò ØÓ Ö ÓÖ ÓÔ Ó Ú ÖØ Ü v Ó G {v+(k,l) : (k,l) Z 2 }º Ê Ö ØÓ ÙÖ º½ ÓÖ Ò Ü ÑÔÐ Û Ò G Ø ÕÙ Ö ¹ÓØ ÓÒ Ö Ô º e y e x ÙÖ º½ Ô Ó Ø ÕÙ Ö ¹ÓØ ÓÒ Ö Ô º Ì ÙÒ ÖÐÝ Ò Ð ØØ Z 2 Ò Ð Ø Ö Ý Ø ØÛÓ Ð Ú ØÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ó {e x,e y }º ¾½

22 Ä Ø G n = (V n,e n ) Ø ÕÙÓØ ÒØ Ó G Ý Ø Ø ÓÒ Ó nz 2 º Ì Ò Ø ÕÙ Ò Ó Ö Ô {G n } n Ò Ü Ù Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ò Ø Ö Ô G Ý ØÓÖÓ Ð Ö Ô º Ì Ö Ô G = G/Z 2 ÐÐ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÑ Ò ÙÖ º¾º ÙÑ Ø Ø Ó G Ö Ò ÔÓ Ø Ú Û Ø ÙÒØ ÓÒ ν Ø Ù Ò Ò Ô Ö Ó Û Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ø Ó Gº G ÙÖ º¾ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÑ Ò G Ó Ø ÕÙ Ö ¹ÓØ ÓÒ Ö Ô ÓÔÔÓ Ø Ò Ð Ø Ö Ý Ö ÒØ º Ö Ò Û Ø ½º Ì Ó Ð Ó Ø ÔØ Ö ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò Ø Ñ Ö ÑÓ Ð ÓÒ G Ù Ò Ø Ü Ù Ø ÓÒ {G n } n Ý Ø Ò Ð Ñ Ø n Ó ÔÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ ÒØ Ø º ÆÓØ Ø Ø Ø ÖÙ Ð ØÓ Ø Ò Ü Ù Ø ÓÒ Ó G Ý ØÓÖÓ Ð Ö Ô º ÁÒ Ø Ð ØØ Ö Ö ÒÚ Ö ÒØ Ý ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ò ØÛÓ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Û ÐÐÓÛ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ØÓ Ó Ø ÖÓÙ Ù Ò ÓÙÖ Ö Ø Ò ÕÙ º ÆÓØ Ð Ó Ø Ø Ø Ò Ò Ü Ù Ø ÓÒ Ý ÔÐ Ò Ö Ö Ô ÔÖ ÓÖ Ð ØÓ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ù Ó Ø Ò Ù Ò Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ Û ÒÒÓØ Ò Ð Ø º ÐØ ÓÙ Ø Ñ Ø ÒÓØ Ñ Ó Ð Ö Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø G Ò {G n } n Ö ÙÑ ØÓ Ô ÖØ Ø Ð Ó ÖÙ Ð ÓÖ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ÔØ Ö Ù Ø ÐÐÓÛ ØÓ Ö Ð Ø Ø Ñ Ö ÑÓ Ð ØÓ Û ÐÐ Ú Ð Ö ÙÖÚ º À Ú Ò Ò Ö Ð Ø ÓÖÝ Ó Ø Ñ Ö ÑÓ Ð ÓÒ ÒÓÒ¹ Ô ÖØ Ø Ö Ô ÓÒ Ó Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÔ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ð º º½ À Ø ÙÒØ ÓÒ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ò Ø Ö Ô G Ò Ó Ø ØÓÖÓ Ð Ö Ô G n n º Ë Ò Û Ö ÛÓÖ Ò ÓÒ Ø Ñ Ö ÑÓ Ð Ò ÒÓØ ÓÒ Ø Ø Ð Ò ÑÓ Ð Ò Ì ÙÖ ØÓÒ³ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø Ø ÙÒØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ó G ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ú ÖØ Ó Ø Ù Ð Ö Ô G º Ì Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ö Ð ÓÒ ÓÛ º ÒÓØ Ý E Ø Ø Ó Ö Ø Ó Ø Ö Ô G º º Ú ÖÝ Ó E Ý Ð ØÛÓ ÓÖ ÒØ Ó Eº ÓÛ ω Ö Ð Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÒ E Ø Ø Ú ÖÝ Ö Ø (u,v) Ó E Ò ÓÛ ω(u,v)º Ì Ú Ö Ò Ó ÓÛ ω ÒÓØ Ý divω Ö Ð Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÒ V Ú Ò Ø Ö Ò ØÛ Ò ØÓØ Ð ÓÙØ ÓÛ Ò ØÓØ Ð Ò ÓÛ Ø Ú ÖØ u V, divω(u) = v u ω(u,v) v uω(v,u). Ë Ò G Ô ÖØ Ø Û ÔÐ Ø Ú ÖØ V ÒØÓ Û Ø Ò Ð ÓÒ V = W Bº Ì Ò Ú ÖÝ Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ M Ó G Ò Û Ø ¹ØÓ¹ Ð ÙÒ Ø ÓÛ ω M ÓÐÐÓÛ º Ì ÓÛ ω M Ø Ú ÐÙ ¼ ÓÒ ÐÐ Ö Ø Ö Ò ÖÓÑ Ó E Û Ó ÒÓØ ÐÓÒ ØÓ M Ò wb M, ω M (w,b) =, ω M (b,w) = 0. ¾¾

23 Ë Ò Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ó Ø Ö Ô G Ò ÒØ ØÓ Ü ØÐÝ ÓÒ Ó Ø Ô Ö Ø Ñ Ø Ò M Ø ÓÛ ω M Ú Ö Ò ½ Ø Ú ÖÝ Û Ø Ú ÖØ Ü Ò ¹½ Ø Ú ÖÝ Ð ÓÒ Ø Ø w W, divω M (w) = b w b B, divω M (b) = w b ω M (w,b) b wω M (b,w) =, ω M (b,w) w bω M (w,b) =. Ä Ø M 0 Ü Ô Ö Ó Ö Ö Ò Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ó G Ò ω M 0 Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÛ ÐÐ Ø Ö Ö Ò ÓÛº Ì Ò ÓÖ ÒÝ ÓØ Ö Ñ Ø Ò M Û Ø ÓÛ ω M Ø Ö Ò ω M ω M 0 Ú Ö Ò ¹ Ö ÓÛ Ø Ø w W, div(ω M ω M 0 )(w) = (ω M (w,b) ω M 0 (w,b)) b w b w(ω M (b,w) ω M 0 (b,w)) = divω M (w) divω M 0 (w) = = 0, Ò Ñ Ð ÖÐÝ ÓÖ Ð Ú ÖØ º Ï Ö ÒÓÛ Ö Ý ØÓ Ò Ø Ø ÙÒØ ÓÒº Ä Ø M Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó G Ø Ò Ø Ø ÙÒØ ÓÒ h M Ò ÒØ Ö Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ó G Ò ÓÐÐÓÛ º Ü f 0 Ó G Ò Ø h M (f 0 ) = 0º ÓÖ ÒÝ ÓØ Ö f ÓÒ Ö Ò ¹Ô Ø γ Ó Ø Ù Ð Ö Ô G ÖÓÑ f 0 ØÓ f º Ä Ø (u,v ),...,(u k,v k ) ÒÓØ Ó G ÖÓ Ò Ø Ô Ø γ Û Ö ÓÖ Ú ÖÝ i u i ÓÒ Ø Ð Ø Ó Ø Ô Ø γ Ò v i ÓÒ Ø Ö Øº Ì Ò h M (f ) h M (f 0 ) Ø ØÓØ Ð ÙÜ Ó ω M ω M 0 ÖÓ γ Ø Ø h M (f ) h M (f 0 ) = k [(ω M (u i,v i ) ω M (v i,u i )) (ω M 0 (u i,v i ) ω M 0 (v i,u i ))]. i= Ì Ø ÙÒØ ÓÒ Û ÐÐ Ò Ø Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ó Ó γ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ Ø Ø Ò ÖÓÙÒ Ú ÖÝ f Ó Ø Ù Ð Ö Ô G ¼º Ä Ø u Ø Ú ÖØ Ü Ó Ø Ö Ô G ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø f Ò Ð Ø v,...,v k Ø Ò ÓÖ º Ì Ò Ý Ò Ø ÓÒ Ø Ø Ò ÖÓÙÒ Ø f Ò ÓÙÒØ ÖÐÓ Û ÓÖ Ö k [(ω M (u,v i ) ω M (v i,u)) (ω M 0 (u,v i ) ω M 0 (v i,u))] = div(ω M ω M 0 )(u) = 0. i= Ì Ø ÙÒØ ÓÒ Ø Ù Û ÐÐ Ò ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø Ø Ø Ø Ø ÓÛ ω M ω M 0 Ú Ö Ò Ö ÙÔ ØÓ Ø Ó Ó f 0 Ò Ó Ö Ö Ò Ñ Ø Ò M 0 º Ò Ò ÐÓ Ó Ä ÑÑ Ú Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ò Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Gº Ê Ñ Ö º Ì Ö ØÙ ÐÐÝ Ò Ý Û Ý Ó ÓÑÔÙØ Ò Ø Ø ÙÒØ ÓÒº Ê ÐÐ ÖÓÑ Ë Ø ÓÒ ¾º Ø Ø Ø ÙÔ Ö ÑÔÓ Ø ÓÒ Ó ØÛÓ Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ M Ò M 0 ÓÒ Ø Ó ÓÙ Ð Ò ÐØ ÖÒ Ø Ò ÝÐ Ó Ð Ò Ø 4 ÝÐ Ñ Ý ÜØ Ò ØÓ Ò Ò ØÝ Û Ò G Ò Ò Ø µº Ä Ø Ù ÒÓØ Ý M M 0 Ø ÓÖ ÒØ ÙÔ Ö ÑÔÓ Ø ÓÒ Ó M Ò M 0 Û Ø Ó M ÓÖ ÒØ ÖÓÑ Û Ø Ú ÖØ ØÓ Ð ÓÒ Ò Ø Ó Ó M 0 ÖÓÑ Ð Ú ÖØ ØÓ Û Ø ÓÒ Ø Ò M M 0 ÓÒ Ø Ó ÓÙ Ð ÓÖ ÒØ Ò ÓØ Ö Ø ÓÒ Ò ÓÖ ÒØ ÐØ ÖÒ Ø Ò ÝÐ Ó Ð Ò Ø 4 ÓÖ Ü ÑÔÐ ÙÖ º º Ê ØÙÖÒ Ò ØÓ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÒ ÒÓØ Ø Ø Ø Ø Ò Ý ± Ü ØÐÝ Û Ò ÖÓ Ò ÝÐ Ò Ø Ò ÓÒÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÝÐ º ¾

24 Ý Ø Ò Ö ÒØ Ó Ó Ö Ö Ò ÓÛ ÓÒ Ò Ö ÓÚ Ö Ì ÙÖ ØÓÒ³ Ø ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ó ÐÓÞ Ò Ò ÓÑ ÒÓ Ø Ð Ò ÙÔ ØÓ ÐÓ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÓÖ Ó 3 Ò Ø Ö Ø Ò 4 Ò Ø ÓÒ ¹ Ø ÒØ Ö Ø Ö Ö Ò ØÖÝ Ò ÛÓÖ ÓÙØ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ÜÔÐ ØÐݺ Ä Ø Ù ÒÓÛ ÓÒ Ö Ø ØÓÖÓ Ð Ö Ô G n = G/nZ 2 º ÁÒ Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ ÒÓØ Û ÐÐ Ò Ò Ø Ö Ñ Ø ÓÑ Ô Ö Ó ÓÖ Ø Ò ÐÓÒ ÝÐ Ò Ø Ù Ð Ö Ô Û Ò Ò ÖÓÙÒ Ø ØÓÖÙ ÓÖ ÞÓÒØ ÐÐÝ ÓÖ Ú ÖØ ÐÐÝ ÙÖ º º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ô Ö Ø Ñ Ø Ò M Ó G n Ò Ð Ø ØÓ Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ö Ô G Ð Ó ÒÓØ Mº Ì Ò Ø Ô Ö Ø Ñ Ø Ò M Ó G n ØÓ Ú Ø Ò (h M x,hm y ) h M (f +(n,0)) = h M (f)+h M x h M (f +(0,n)) = h M (f)+h M y. ÆÓØ Ø Ø Ø Ò Û ÐÐ Ò º º Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø Ó Ó f Ù Ø ÓÛ ω M ω M 0 Ú Ö Ò ¹ Ö º ÙÖ º Ú Ò Ü ÑÔÐ Ó Ø Ö Ö Ò Ô Ö Ø Ñ Ø Ò M 0 Ò Ù Ý Ô Ö Ó Ö Ö Ò Ñ Ø Ò Ó G Ò Ó Ø Ø Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ M Ó Ø ØÓÖÓ Ð Ö Ô G 2 Ó Ø ÕÙ Ö ¹ÓØ ÓÒ Ö Ô º Ì Ô Ö Ø Ñ Ø Ò M Ø Ò (0,)º f M M ÙÖ º Ô Ö Ø Ñ Ø Ò M Ó Ø ØÓÖÓ Ð Ö Ô G 2 Ú Ò Ø Ò (0,)º Ê Ñ Ö º Ä Ø T 2 = {(z,w) C 2 : z = w = } ÒÓØ Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÒ Ø ØÓÖÙ Ò Ð Ø H (T 2,Z) = Z 2 Ø Ö Ø ÓÑÓÐÓ Ý ÖÓÙÔ Ó T 2 Ò Zº Ì Ö Ô G n Ò Ñ Ò T 2 Û Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú Ó Ó H (T 2,Z) Ø Ú ØÓÖ ne x Ò ne y Ñ ÓÒ Ø ØÓÖÙ Û Ö Ö ÐÐ {e x,e y } Û Ö ÓÙÖ Ó Ó Ú ØÓÖ ÓÖ Z 2 ÙÖ º½º ÁÒ Ø Ó Ø ÕÙ Ö ¹ÓØ ÓÒ Ö Ô Ò G 2 Ó ÙÖ º Ø Ö Ø Ú ØÓÖ Ø Ð Ø Ö Ý ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÝÐ ÓÖ ÒØ ÖÓÑ Ð Ø ØÓ Ö Ø Ò Ø ÓÒ Ø Ð Ø Ö Ý Ú ÖØ Ð ÝÐ ÓÖ ÒØ ÖÓÑ ÓØØÓÑ ØÓ ØÓÔº Ì Ò Ø ÓÑÓÐÓ Ý Ð Ó Ø ÓÖ ÒØ ÙÔ Ö ÑÔÓ Ø ÓÒ M M 0 Ò Ø (,0) Ò Ø Ø Ò (0,)º ÅÓÖ Ò Ö ÐÐÝ Ø ÓÑÓÐÓ Ý Ð Ó M M 0 (a,b) Ø Ò Ø Ø Ò (h M x,hm y ) ( b,a)º Ì Ù Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ê Ñ Ö Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ò Ý ± Ü ØÐÝ Û Ò Ø ÖÓ ÓÖ ÒØ ÝÐ Ó M M 0 ÑÔÐÝ Ò Ø Ø Ø Ø Ò (h M x,hm y ) Ò ÒØ Ø ÖÓÙ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ò Û Ø Ø ÓÑÓÐÓ Ý Ð Ó Ø ÓÖ ÒØ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ M M 0 Ò H (T 2,Z)º ¾

25 º¾ È ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö Ò Ö Ý Ä Ø Ù Ö ÐÐ Ø ØØ Ò G ÑÔÐ ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ø Ô ÖØ Ø Z 2 ¹Ô Ö Ó Ö Ô Ò {G n } n Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓÖÓ Ð Ü Ù Ø ÓÒº Ó G Ö Ò Ô Ö Ó ÔÓ Ø Ú Û Ø ÙÒØ ÓÒ ν Ò {e x,e y } ÒÓØ Ó Ó Ó Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ð ØØ Z 2 º ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ØÓÖÓ Ð Ö Ô G n Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ò Ö Ý Û Ñ ÒÙ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÖÓÛØ Ö Ø Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ü Ù Ø ÓÒ G n º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ë Ø ÓÒ º¾º½ ÚÓØ ØÓ Ã Ø Ð ÝÒ Ø ÓÖÝ ÓÒ Ø ØÓÖÙ º Ì Ò Ò Ë Ø ÓÒ º¾º¾ Û Ò Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒ Ó Ø Ý Ó Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ø Ñ Ö ÑÓ Ð ÓÒ Ô ÖØ Ø Ö Ô Ý Ð Ò ÓÑÔ Ø ÐÓ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½¼º Ï Ø Ø ÜÔÖ ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ø Ò Ö Ú Ø ÜÔÐ Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ö Ò Ö Ý Ì ÓÖ Ñ ½½º º¾º½ Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¾º Û ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ò Ø ÑÔÐÝ ÓÒÒ Ø ÔÐ Ò Ö Ö Ô Ú Ò Ý Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Üº Ï Ò Ø Ö Ô Ñ ÓÒ Ø ØÓÖÙ Ò Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ÒÓØ ÒÓÙ Û Ø Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ýº ÓÒ Ö Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÑ Ò G Ò Ð Ø K Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü Ó Ø Ö Ô Ø Ø K Ø ÓÖ ÒØ Û Ø ÒÝ Ñ ØÖ Ü Ó G ÓÖ Ó Ó Ñ Ð ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø º ÆÓØ Ø Ø Ñ Ð ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ó Ü Ø ÓÖ Ö Ô Ñ Ò Ø ØÓÖÙ º Ä Ø Ù ÒÓÛ ÐÓÓ Ø Ø Ò Ó Ø Û Ø Ñ Ø Ò Ò Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ó det(k )º ÓÒ Ö Ü Ö Ö Ò Ñ Ø Ò M 0 Ó G Ò Ð Ø M ÒÝ ÓØ Ö Ñ Ø Ò Ó G º Ì Ò Ý Ø Ö ÙÐØ Ó Ã Å + Ä Ì ¼¼ ʼ Ø Ò Ó Ø Ñ Ø Ò M ÓÒÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø Ô Ö ØÝ Ó Ø Ú ÖØ Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ò º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ó Ø ÓÙÖ ÔÓ Ð Ô Ö ØÝ Ð Ø Ö Ú Ø Ñ Ò Ò det(k ) Ò ÓÒ ÓÔÔÓ Ø Òº Ý Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø Ó Ó Ñ Ð ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ Ò Ñ Ø (0,0) Ð Ú ÔÓ Ø Ú Òº Ä Ø γ x γ y Ø Ú ØÓÖ e x e y Ó Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ð ØØ Z 2 Ñ ÓÒ Ø ØÓÖÙ º Ë Ò Û Ú Ó Ò Z 2 ØÓ Ù Ö Ô Ó Ø Ù Ð Ö Ô G γ x γ y Ö ÓÖ ÒØ ÝÐ Ó Ø Ù Ð Ö Ô G ÙÖ º º Ï Ö Ö ØÓ γ x ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÝÐ Ò ØÓ γ y Ú ÖØ Ð ÓÒ º γ y G γ x ÙÖ º ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÑ Ò G Ó Ø ÕÙ Ö ÓØ ÓÒ Ö Ô Û Ø Ø ÓÖ ÒØ Ô Ø γ x,γ y Ò Ø Ù Ð Ö Ô G º Ì ØÛÓ ÓÔ Ó γ x Ö Ô Ø Ú ÐÝ γ y Ö ÐÙ ØÓ Ø Öº ÓÖ σ, τ {0,} Ð Ø K θτ Ø Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü Ò Û Ø Û Ø Ó Ø ÖÓ Ò Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÝÐ γ x Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ý ( ) θ Ò Ø Ó ÖÓ Ò Ø Ú ÖØ Ð ÝÐ γ y Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ý ( ) τ º Ç ÖÚ Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ò ÐÓÒ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ù Ð ÝÐ Ø Ø Ó Ò Ø Ò Ø Û Ø Ó Ñ Ø Ò Û Ø Ó ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ò Ò Ñ Ð ÖÐÝ ÓÖ ¾

26 Ú ÖØ Ð Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ð Ò Ø Ø Ò Ó Ø Ñ Ø Ò Ò Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ó det(k θτ ) ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ú ÖØ Ð Ø Ò ÑÓ 2º ÖÓÑ Ì Ð º½ Û Ù (0,0) (,0) (0,) (,) det(k 00) + det(k 0) det(k 0) det(k ) º½µ Z(G ) = 2 ( det(k 00 )+det(k 0 )+det(k 0 )+det(k ) ). º¾µ Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ ÓÐ ÓÖ Ø ØÓÖÓ Ð Ö Ô G n n º Ì ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ó G Ò Ô Ö Ó ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ó G Ò Ø Ù Ò ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ó G n º Ä Ø γ x,n γ y,n Ø ÓÖ ÒØ ÝÐ Ò Ø Ù Ð Ö Ô G n Ó Ø Ò Ý Ø Ò n Ø Ñ Ø Ú ØÓÖ e x n Ø Ñ Ø Ú ØÓÖ e y Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ñ ÓÒ Ø ØÓÖÙ º ÓÖ σ,τ {0,} Ð Ø Kn στ Ø Ñ ØÖ Ü K n Ò Û Ø Û Ø Ó ÖÓ Ò Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÝÐ γ x,n Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ý ( ) θ Ò Ø Ó ÖÓ Ò Ø Ú ÖØ Ð ÝÐ γ y,n Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ý ( ) τ º Ì Ò Ì ÓÖ Ñ º à Š+ Ä Ì ¼¼ ʼ ʼ Z(G n ) = ( det(k 00 n 2 )+det(k0 n )+det(k0 n )+det(k n )). º¾º¾ Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ä Ø K Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü Ó Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÑ Ò G º Ú Ò ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö z Ò w Ò ÐØ Ö Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü K (z,w) ÓÒ ØÖÙØ ÓÐÐÓÛ º Ä Ø γ x γ y Ø ÓÖ ÒØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ú ÖØ Ð ÝÐ Ó G º Ì Ò ÑÙÐØ ÔÐÝ ¹Û Ø Ó ÖÓ Ò γ x Ý z Û Ò Ú Ö Ø Û Ø Ú ÖØ Ü ÓÒ Ø Ð Ø Ò Ý z Û Ò Ú Ö Ø Ð Ú ÖØ Ü ÓÒ Ø Ð Øº Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÑÙÐØ ÔÐÝ ¹Û Ø Ó ÖÓ Ò Ø Ú ÖØ Ð Ô Ø γ y Ý w ± ÙÖ º º Ì Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð P(z,w) Ó Ø Ö Ô G Ò Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ø ÐØ Ö Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü P(z,w) = det(k (z,w)). Û Û ÐÐ Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒØ Ò ÑÓ Ø Ó Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ú ÓÖ Ó Ø Ñ Ö ÑÓ Ð ÓÒ Ø Ö Ô Gº Ì Ò ÜØ Ú ÖÝ Ù ÙÐ Ð ÑÑ ÜÔÖ Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ù Ò Ø Ò Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó G º Ê Ö ØÓ Ë Ø ÓÒ º½ ÓÖ Ò Ø ÓÒ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ò º Ä Ø M 0 Ö Ö Ò Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó G Ò ÙÔÔÓ Ø Ñ Ð ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ò Ù Ø Ø Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ú Ò (0,0) ÑÓ (2,2) Ø Ò Ú Ò Ò Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ó det(k )º Ï ÓÒ Ö Ø ÐØ Ö Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü K (z,w) ÓÒ ØÖÙØ ÖÓÑ K º Ä Ø ω M 0 Ø Ö Ö Ò ÓÛ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ö Ö Ò Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ M 0 Ò Ð Ø x 0 ÒÓØ Ø ØÓØ Ð ÙÜ Ó ω M 0 ÖÓ γ x Ñ Ð ÖÐÝ y 0 Ø ØÓØ Ð ÙÜ Ó ω M 0 ÖÓ γ y º Ì Ò Û Ú Ä ÑÑ º ÃÇ˼ P(z,w) = z x 0 w y 0 M M(G ) ν(m)z hm x w hm y ( ) hm x h M y +h M x +h M y, º µ Û Ö ÓÖ Ú ÖÝ Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ M Ó M(G ) (h M x,h M y ) Ø Ø Ò Ó Mº ¾

27 ÈÖÓÓ º Ä Ø M Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ó G º Ì Ò Ý Ø Ó Ó Ã Ø Ð ÝÒ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ò Ó Ø Ø ÖÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ M Ò Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ó det(k (z,w)) + (h M x,hm y ) = (0,0) mod (2,2) Ò Ð º Ì Ò ÙÑÑ Ö Þ ( ) hm x hm y +hm x +hm y. Ä Ø Ù ÒÓØ Ý ν z,w Ø Û Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ó G Ó Ø Ò ÖÓÑ G Ý ÑÙÐØ ÔÐÝ Ò ¹Û Ø Ó ÖÓ Ò γ x Ý z ± Ò Ø Ó ÖÓ Ò γ y Ý w ± ÓÚ º Ì Ò ν z,w (M) = ν(m)z nwb x (M) nbw x (M) w nwb y (M) nbw y (M), Û Ö n wb x (M) Ø ÒÙÑ Ö Ó Ó M ÖÓ Ò γ x Û Ú Û Ø Ú ÖØ Ü ÓÒ Ø Ð Ø Ó γ x Ò n bw x (M) Ø ÒÙÑ Ö Ó Ó M ÖÓ Ò γ x Û Ú Ð Ú ÖØ Ü ÓÒ Ø Ð Ø Ó γ x º Ì Ò Ø ÓÒ Ó n wb y (M) nbw y (M) Ñ Ð Ö Û Ø γ x Ö ÔÐ Ý γ y º Ê ØÙÖÒ Ò ØÓ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò ÓÖ Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ØÓÖÓ Ð Ö Ô G n Û Ú h M x = nwb x (M) nbw x (M) nwb x (M 0)+n bw x (M 0), Ó Ø Ø n wb x (M) nbw x (M) = hm x +nwb x (M 0) n bw x (M 0) = h M x +x 0, Ò Ý Ò Ø ÓÒ x 0 Ø ØÓØ Ð ÙÜ Ó ω M 0 ÖÓ γ x º ÓÑÔÙØ Ò h M y Ò Ñ Ð Ö Û Ý Ý Ð Ø Ð ÑÑ º Ü ÑÔÐ º½º Ä Ø Ù ÓÑÔÙØ Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÑ Ò G Ó Ø ÕÙ Ö ¹ÓØ ÓÒ Ö Ô Û Ø Û Ø ÓÒ ÓÒ Ø º ÙÖ º Рص Ö Ø Ð Ð Ò Ó Ø Ú ÖØ Ò Û Ø Ó Ø ÐØ Ö Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Üº Ì ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ð Ò Ù Ø Ø Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ú Ò (0,0) Ø Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ö Ö Ò Ñ Ø Ò M 0 Ú Ò ÓÒ Ø Ö Ø Ú Ò Ò Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ó det(k )º G γy w b 2 b 4 w 2 w /w w 4 b 2 b 3 w 3 /z z γ x γ y γ x M 0 ÙÖ º Ä Ø Ð Ð Ò Ó Ø Ú ÖØ Ó G ¹Û Ø Ó Ø ÐØ Ö Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü Ó Ó Ñ Ð Ã Ø Ð ÝÒ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒº Ê Ø Ó Ó Ö Ö Ò Ô Ö Ø Ñ Ø Ò M 0 º Ì ÐØ Ö Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü K (z,w) K (z,w) = Ò Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð 0 z 0 w z 0 0 w, P(z,w) = det(k (z,w)) = 5 z z w w. º µ ¾

28 Ä Ø Ù ÓÑÔÙØ Ø Ö Ø Ò Ó ÕÙ Ø ÓÒ º µ ÜÔÐ ØÐݺ Ï Ø ÓÙÖ Ó Ó Ö Ö Ò Ñ Ø Ò M 0 Ó ÙÖ º Ö Øµ Ø ØÓØ Ð ÙÜ Ó ω M 0 Ø ÖÓÙ γ x Ò γ y (0,0) Ó Ø Ø z x 0 w y 0 = º Ë Ò ÐÐ Ú Û Ø ½ ν(m) º ÙÖ º Ö Ø Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ó G Û Ø Ø Ö Ö Ô Ø Ú Ø Ò º ÓÒ ÕÙ Ò Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ó G ØÓ Ø Ö Ø Ò Ó º µ ÓÖ Ó Ø Ö Ø ÓÒ w Ö Ô Ø Ú ÐÝ w z z ÓÖ Ø Ð Ø ÓÙÖ ÓÒ º ÓÑ Ò Ò Ø Ö ÒØ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ý Ð ÜÔ Ø Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÑÔÙØ Ò ÕÙ Ø ÓÒ º µº or symmetries with height change (0, ), (,0) and (,0) matchings with height change (0,0) matching with height change (0,0) matching with height change (0,) ÙÖ º ÔÓ Ð Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó G Û Ø Ø Ö Ø Ò º ÁÒ Ø Ô Û Ò(z,w) {,} 2 ÒK (z,w) ÓÒ Ö ÓÚ Ö Ø ÓÙÖ Ñ ØÖ (K θτ ) θ,τ {0,}º Í Ò ÕÙ Ø ÓÒ º¾µ Û Ö ÓÚ Ö Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó G Z(G ) = ( P(,)+P(,)+P(, )+P(, )) = 9. 2 º µ Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ð Ö Ö Ö Ô Ñ Ý ÓÑÔÙØ Ö ÙÖ Ú ÐÝ ÓÐÐÓÛ º Ä Ø K n Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü Ó Ø Ö Ô G n ÓÚ Ò Ð Ø γ x,n Ò γ y,n Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ú ÖØ Ð ÝÐ Ó G nº ÓÖ z,w C Ø ÐØ Ö Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü K n (z,w) ÓÒ ØÖÙØ Ñ Ð ÖÐÝ ØÓ K (z,w) Ò Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó G n P n (z,w) = det(k n (z,w))º Ì ÓÖ Ñ º Ãȼ½ ÃÇ˼ ÓÖ Ú ÖÝ n Ò Ú ÖÝ (z,w) C 2 Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð P n (z,w) Ó G n P n (z,w) = α n i =z β n j =w P(α i,β j ). ÈÖÓÓ º Ì ÔÖÓÓ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ãȼ½ Û Ö Ø Ñ Ö ÙÐØ Ó Ø Ò ÓÖ Ø Ö Ô G = Z 2 º Ï ÓÒÐÝ Ú Ø Ö ÙÑ ÒØ Û Ò z = w = º Ì ÔÖÓÓ ÓÖ Ò Ö Ð z,w³ ÓÐÐÓÛ Ø Ñ Ø Ô º ÆÓØ Ø Ø K n (,) = K 00 n = K n Ó Ø Ø ÓÙÖ Ó Ð ØÓ ÓÛ Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ n det(k n ) = α n i = β n j = det(k (α i,β j )). Ä Ø W n Ö Ô Ø Ú ÐÝ B n ÒÓØ Ø Ø Ó Û Ø Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ð Ú ÖØ Ó G n º Ì ØÓ Ù Ø ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö Ò Ó Ø Ö Ô G n Ò Ó Ø Ñ ØÖ Ü K n ØÓ ÐÓ ÓÒ Ð Þ K n Ò ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ý ÓÑÔÙØ Ò Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ø Ö ÒØ ÐÓ º ¾

29 Ä Ø C Wn Ø Ø Ó ÓÑÔÐ Ü¹Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Û Ø Ú ÖØ W n Ò C Bn Ø Ó ÓÒ Ð Ú ÖØ B n º Ì Ò Ø Ñ ØÖ Ü K n Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÓÑ C Bn ØÓ C Wn Ð Ø f C Bn Ø Ò (K n f)(w) = b B n K n (w,b)f(b). Ä Ø T Bn x Ö Ôº T Bn y µ Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö Ôº Ú ÖØ Ðµ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ò ÓÒ C Bn b B n, (Tx Bn f)(b) = f(b+(,0)), (TBn y f)(b) = f(b+(0,)), Ò ÓÒ Ö T Bn = Ty Bn Tx Bn º Ì ÓÔ Ö ØÓÖ T Bn Ò Ò ÓÑ ØÖÝ Ø Ý Ð Ò ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó C Bn ÓÒ Ø Ò Ó ÒÚ ØÓÖ Ó T Bn º Ì ÒÚ ÐÙ Ó T Bn Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó n¹ø ÖÓÓØ Ó ÙÒ ØÝ (α j β k ) j,k {0,...,n } Û Ö α j = e i2πj n β k = e i2πk n ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø Ø Ø Ø (T Bn ) n = Idµº Ä Ø Ù ÒÓØ Ý V Bn α j β k Ø Ò Ô Ó Ø ÒÚ ÐÙ α j β k V Bn α j β k = {f C Bn : b B n, f(b + (,)) = α j β k f(b)}º Ì Ò V Bn α j β k Ò Ö ÛÖ ØØ Ò V Bn α j β k = {f C Bn : b B, (x,y) {0,...,n } 2,f(b+(x,y)) = f(b)α x j βy k } Û Ö Ö ÐÐ Ø Ø G = (W B,E ) Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÑ Òº ÓÖ Ú ÖÝ b B Ò e b α j β k C Bn Ý b B, (x,y) {0,...,n } 2, e b α j β k (b +(x,y)) = n δ b,b αx j βy k. Ì Ò E αj β k = {e b α j β k : b B } Ó V Bn α j β k Ø Ò Ô V Bn α j β k V(G ) 2 Ñ Ò ÓÒ Ð Ò E = {αj β k :j,k {0,...,n }}E αj β k Ò ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð Ó C Bn º ÁÒ Ñ Ð Ö Û Ý ÓÒ Ó Ø Ò Ò ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó C Wn Ù Ò T Wn = T Wn x T Wn y Ø Ò ÓÒ C Wn º Ä Ø Ù ÓÛ Ø Ø K n Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø ÐÓ ÓÒ Ð Û Ø ÐÓ Ó Þ V(G ) 2 ÓÖ Ó Ø n 2 ÒÚ ÐÙ α j β k º ÓÖ ÐÐ w W (x,y) {0,...,n } 2 ÓÒ (K n e b α j β k )(w+(x,y)) = K n (w+(x,y),b +(x,y ))e b α j β k (b +(x +y )) b B (x,y ) {0,...,n } 2 = K n (w+(x,y),b+(x,y )) n αx j β y k, Ý Ò Ø ÓÒ Ó eb α j β k (x,y ) {0,...,n } 2 = n K (α j,β k ) w,b α x jβ y k, Ý ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö Ò Ó K n = K (α j,β k ) w,be w α j β k (w+(x,y)), Ý Ò Ø ÓÒ Ó e w w W ÓÒ ÕÙ Ò (K n e b α j β k ) V Wn α j β k Ò Ø Ñ ØÖ Ü K n ÛÖ ØØ Ò Ò Ø E ÐÓ ÓÒ Ðº ÓÖ ÐÐ w W b B Ø (w,b)¹ Ó ÒØ Ó Ø ÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÒÚ ÐÙ α j β k Ú Ò Ý (e w α j β k ) K n e b α j β k = w W K (α j,β k ) w,b(e w α j β k ) e w Ø Ù ÔÖÓÚ Ò Ì ÓÖ Ñ Ò Ø Û Ö z = w = º α j β k = K (α j,β k ) w,b, Ò Ø ÓÖØ ÓÒÓÖÑ Ð, ¾ α j β k.

30 º¾º Ö Ò Ö Ý ÓÖÓÐÐ ÖÝ ØÓ Ì ÓÖ Ñ Ò Û Ú Ò ÜÔÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó G n ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð P º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½¼º Ï Ò Ø Ã Ø Ð ÝÒ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò Ù Ø Ø Ø Ò Ø Ð Ó Ø ÙÒ ¹ Ñ ÒØ Ð ÓÑ Ò Ú Ò Ý Ì Ð º½ Ø Ò ÓÖ Ú ÖÝ n Z(G n ) = 2 Û Ö Zn θτ = P n(( ) θ,( ) τ ) = α n i =( )θ ( Z 00 n +Z 0 n +Z 0 β n j =( )τ P(α i,β j ). n +Zn Ì Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÖÓÛ Ò Û Ø Ø Þ Ó Ø Ö Ô º Ò ØÙÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ ÒÓÛ Û Ø Ø ÖÓÛØ Ö Ø ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÓÖÑÙÐ Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖÖ ØÐÝ Û Ò ØÓ ÒÓÛ ÓÙØ Ø ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ Ó Ø ÖÓÛØ º ÁÒØÙ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ù Ø Ø Ø Ó Ò ØÓ ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ø Ö Ó Ø Ö Ô Z(G n ) e cn2 º Ì Ù Ø Ö Ø ÕÙ ÒØ ØÝ ØÓ ÐÓÓ Ø lim n Å ÒÙ Ø ÕÙ ÒØ ØÝ ÒÓÛÒ Ø Ö Ò Ö Ýº n 2 logz(g n). Ì ÓÖ Ñ ½½º Ãȼ½ ÃÇ˼ ÍÒ Ö Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø P(z,w) ÓÒÐÝ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Þ ÖÓ ÓÒ Ø ÙÒ Ø ØÓÖÙ T 2 = {(z,w) C 2 : z = w = } Û Ú lim n n 2 logz(g n) = (2πi) 2 log P(z,w) dz dw T 2 z w. ÈÖÓÓ º Ë Ò Z θτ n ÓÙÒØ ÓÑ Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó G n Û Ø Ø ÛÖÓÒ Ò Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÙÒ Z θτ n Z(G n). ÅÓÖ ÓÚ Ö ÐÓÓ Ò Ø Ì Ð º½ Û Ù Ò Ø Ù Ý Ì ÓÖ Ñ Z 00 n +Z 0 n +Z 0 n +Z n, max θ,τ {0,} {Zθτ n } Z(G n ) Zn 0 +Zn 0 +Zn 3 max θ,τ {0,} {Zθτ n }. ËÓ Ø Ø lim n n logz(g 2 n ) = lim n n log ( max 2 θ,τ {0,} {Zn θτ } ) ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ð Ñ Ø Ü Øº Ý Ì ÓÖ Ñ Û Ú ), n 2 logz00 n = (2π) 2 (2π) 2 n 2 n n j=0 k=0 logp(e i2πj n,e i 2πk n ). º µ Ì ÓØ Ö Ø ÖÑ n 2 logz θτ n Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ñ Ð Ö Û Ýº Ì ÓÙÖ Ø ÖÑ ÐÓÓ Ð Ê Ñ ÒÒ ÙÑ ÓÖ Ø ÒØ Ö Ð I = 2π 2π (2π) 2 logp(e iθ,e iτ )dθdτ = 0 0 (2πi) 2 logp(z,w) dz T 2 z ¼ dw w.

31 Ï Ñ Ý Ò Ú ÖØ Ð Ú ÓÒÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ Ø ÖÑ Ó Ø ÙÑ º µ Û Ø Ö ÙÑ ÒØ ØÓÓ ÐÓ ØÓ Ø Þ ÖÓ Ó P(z,w) Ñ Ý ÜÔÐÓ º Ý Ù Ò Ø Ú ÖÝ Ö ÙÐ Ö ÙÑ ÒØ Ó Ì ÓÖ Ñ º º Ó Ãȼ½ ÓÒ Ò Ø Ø Ø Û ÐÐ ÒÓØ ÔÔ Ò Ò Ó Ø Ê Ñ ÒÒ ÙÑ Ó Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø ÒØ Ö Ð Iº Ì ÔÖÓÓ ÓÒÐÙ Ý Ó ÖÚ Ò Ø Ø Ò P(e iθ,e iτ ) = P(e iθ,e iτ ) I = (2π) 2 2π 2π 0 0 log P(e iθ,e iτ ) dθdτ. Ü ÑÔÐ º Ì Ö Ò Ö Ý Ó Ø Ñ Ö ÑÓ Ð ÓÒ Ø ÕÙ Ö ¹ÓØ ÓÒ Ö Ô Û Ø ÙÒ ÓÖÑ Û Ø (2πi) 2 log 5 z T 2 z w dz dw w z w. ÆÓØ Ø Ø Ø Ò Ò Ö Ð Ö ØÓ ÜÔÐ ØÐÝ ÓÑÔÙØ Ø ÒØ Ö Ðº º Ñ ÙÖ Ï Ö ÒÓÛ ÒØ Ö Ø Ò Ö Ø Ö Þ Ò ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ ÙÖ ÓÒ Ø Ø Ó Ô Ö Ø Ñ Ø Ò M(G) Ó Ø Ò Ò Ø Ö Ô G Û Ö Ò ÓÑ ÔÔÖÓÔÖ Ø Ò Ò Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ú Ö ÓÒ Ó Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ ÓÒ M(G n )º Ê ÐÐ Ø Ø Ý Ò Ø ÓÒ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ñ Ø Ò Ó Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ ÓÒ M(G n ) ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ø Û Ø º Ì Ò Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÛÓÖ Û Ò Ø Ö Ô Ò Ò Ø Ò Ö ÔÐ Ý Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ñ ÙÖ Û ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ ÙÖ ÓÒ M(G) Ø Ý Ò Ø ÄÊ ½ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ò Ò ÒÒÙÐ Ö Ö ÓÒ Ó G Ü Ñ Ø Ò Ò Ò ÓÙØ Ó Ø ÒÒÙÐÙ Ö Ò Ô Ò ÒØ Ò Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ÒÝ ÒØ Ö ÓÖ Ñ Ø Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ø ¹Û Ø º º º½ Ä Ñ Ø Ó ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ Ò ØÙÖ Ð Û Ý Ó ÓÒ ØÖÙØ Ò Ñ ÙÖ ØÓ Ø Ø Ð Ñ Ø Ó Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ ÓÒ ÝÐ Ò Ö Ø Ó M(G n ) Û Ö ÝÐ Ò Ö Ø ÓÒ Ø Ó ÐÐ Ô Ö Ø Ñ Ø Ò ÓÒØ Ò Ò Ü Ù Ø Ó Ó G n º Ì ÓÖ Ñ ¾ Ú Ò ÜÔÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ ÓÒ ÝÐ Ò Ö Ø Û Ò Ø Ö Ô ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ø º ÁÒ Ø Ó ØÓÖÓ Ð Ö Ô Ñ Ð Ö ÙØ ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÐ Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó ÓÙÖ Ø ÖÑ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ó Ó ÕÙ Ø ÓÒ ¾º¾µ ÒÚÓÐÚ Ò Ø Ñ ØÖ Kn 00,...,Kn Ò Ø Ö ÒÚ Ö º Í Ò Ø ÐÓ ÓÒ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ØÖ Kn στ Ó Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ø Ð Ñ ÒØ Ó Ø ÒÚ Ö ÜÔÐ ØÐÝ Ò Ó Ø Ò Ê Ñ ÒÒ ÙÑ º Ì ÓÒÚ Ö Ò Ó Ø Ê Ñ ÒÒ ÙÑ Ò ÓÑÔÐ Ø Ý Ø Þ ÖÓ Ó P(z,w) ÓÒ Ø ØÓÖÙ T 2 ÙØ Ò ÓÛÒ ØÓ ÓÒÚ Ö ÓÒ Ù ÕÙ Ò Ó n³ ØÓ Ø Ö Ø Ò Ó ÕÙ Ø ÓÒ º µº Í Ò Ì ÓÖ Ñ Ó Ë Ð Ë ¼ Û ÓÛ ÔÖ ÓÖ Ü Ø Ò Ó Ø Ð Ñ Ø ÓÒ Ù ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ Ú ÖÝ nº Ì Ò Ý ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ³ ÜØ Ò ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ø Ö Ü Ø ÙÒ ÕÙ ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ ÙÖ ÓÒ (M(G),σ(A)) Û Ó Ò Û Ø Ø Ð Ñ Ø Ó Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ ÓÒ ÝÐ Ò Ö Ø Û Ö σ(a) Ø Ñ ÐÐ Ø Ñ ¹ Ð ÓÒØ Ò Ò ÝÐ Ò Ö Ø º Ì Ð Ñ Ø Ò Ñ ÙÖ Ó ØÝÔ Ý ÓÒ ØÖÙØ ÓÒº Ï Ú Ø Ù Ø Ø ÔÖÓÓ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñº ½ ÄÊ Ø Ò ÓÖ Ó ÖÙ Ò Ä Ò ÓÖ Ò ÊÙ ÐÐ ½

32 Ì ÓÖ Ñ ½¾º Ãȼ½ ÃÇ˼ Ä Ø {e = w b,...,e k = w k b k } Ù Ø Ó Ó Gº Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÙÒ ÕÙ ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ ÙÖ µ ÓÒ (M(G),σ(A)) Ù Ø Ø ( k ) µ(e,...,e k ) = K(w i,b i ) det(k (b i,w j ) i,j k ), i= Û Ö K Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü Ó Ø ØÓ Ø Ö Ô G Ò ÙÑ Ò b Ò w Ö Ò Ò Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÑ Ò K (b,w+(x,y)) = Q bw (z,w) (2πi) 2 T 2 P(z,w) zx w ydw dz w z, Ò Q bw (z,w) Ø (b,w) Ð Ñ ÒØ Ó Ø Ù Ø Ñ ØÖ Ü ØÖ Ò ÔÓ Ó Ø Ó ØÓÖ Ñ ØÖ Üµ Ó K (z,w)º ÁØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò z,w,z,w º º µ º º¾ Ö Ó Ñ ÙÖ ÁÒ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Û Ú ÜÔÐ ØÐÝ Ø ÖÑ Ò Ñ ÙÖ ÓÒ M(G)º Ï ÒÓÛ Ñ Ø Ö Ø Ö Þ Ò ÐÐ Ó Ø Ñº ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ø Ò Û Ý Û Ó Ö ÒØ Û Ø Ø ÑÓ Ð Û ÒØÖÓ Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ ÓÒ º ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ ÙÖ ÓÒ M(G) ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ¹ ÒÚ Ö ÒØ Ø Ñ ÙÖ Ó Ù Ø Ó M(G) ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö Ø ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ¹ ÓÑÓÖÔ Ñ Ø ÓÒº Ò Ö Ó Ñ ÙÖ Åµ Ñ ÙÖ Û ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ò Ö Ó º º ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ø Ú Ñ ÙÖ 0 ÓÖ º ÓÖ Ò Ö Ó Ñ ÙÖ µ Ò Ø ÐÓÔ (s,t) ØÓ Ø ÜÔ Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ú ÖØ Ð Ø Ò Ò Ø (,0) Ò (0,) Ö Ø ÓÒ Ø Ø s = E µ [h(v + (,0)) h(v)] Ò t = E µ [h(v +(0,)) h(v)]º Ä Ø Ù ÒÓØ Ý µ n Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ ÓÒ M(G n )º ÓÖ Ü (s,t) R 2 Ð Ø M s,t (G n ) Ø Ø Ó Ñ Ø Ò Ó G n Û Ú Ø Ò ( sn, tn )º ÙÑ Ò Ø Ø M s,t (G n ) ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ ÓÖ n Ù ÒØÐÝ Ð Ö Ð Ø µ n (s,t) ÒÓØ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ñ ÙÖ Ò Ù Ý µ n ÓÒ M s,t (G n )º Ì Ò Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ö Ó Ñ ÙÖ ÓÒ M(G) Ú Ò Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñ Ó Ë Ð º Ì ÓÖ Ñ ½ º Ë ¼ ÓÖ (s,t) ÓÖ Û M s,t (G n ) ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ ÓÖ n Ù ÒØÐÝ Ð Ö µ n (s,t) ÓÒÚ Ö n ØÓ Ò Å µ(s,t) Ó ÐÓÔ (s,t)º ÙÖØ ÖÑÓÖ µ n Ø Ð ÓÒÚ Ö ØÓ µ(s 0,t 0 ) Û Ö (s 0,t 0 ) Ø Ð Ñ Ø Ó Ø ÐÓÔ Ó µ n º Ò ÐÐÝ (s 0,t 0 ) Ð Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø Ø Ó (s,t) ÓÖ Û M s,t (G n ) ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ ÓÖ n Ù ÒØÐÝ Ð Ö Ø Ò Ú ÖÝ Å Ó ÐÓÔ (s,t) Ó Ø ÓÖÑ µ(s,t) ÓÖ ÓÑ (s,t) ÓÚ Ø Ø µ(s,t) Ø ÙÒ ÕÙ Ö Ó Ñ ÙÖ Ó ÐÓÔ (s,t)º ÈÖÓÓ º Ì Ü Ø Ò Ø Ð Ý Ø Ò Ð Ñ Ø Ó ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ ÓÒ Ð Ö Ö Ò Ð Ö Ö ØÓÖ Û Ð Ö ØÖ Ø Ò Ø Ò º Ì ÙÒ ÕÙ Ò ÑÙ Ö Ö Ò Û ÛÓÒ³Ø Ù Ø Ö º º º Æ ÛØÓÒ ÔÓÐÝ ÓÒ Ò Ú Ð Ð ÐÓÔ Ì ÓÖ Ñ ½ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ø Ó ÔÓ Ð ÐÓÔ ÓÖ Ñ ÙÖ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ÓÖ Ð Ñ Ø Ó ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ Ì Ò Û Ö Ú Ò Ý Ø Æ ÛØÓÒ ÔÓÐÝ ÓÒ N(P) Ò ÓÐÐÓÛ N(P) Ø ÐÓ ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ò R 2 Ó Ø Ø Ó ÒØ Ö ¾

33 ÜÔÓÒ ÒØ Ó Ø ÑÓÒÓÑ Ð Ó Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð P(z,w) ÙÔ ØÓ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ö Ö Ò ÓÛ ω M0 Ø Ø N(P) = ÓÒÚ Ü ÙÐÐ{(i,j) Z 2 z i+x 0 w j+y 0 ÑÓÒÓÑ Ð Ò P(z,w)}. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º ÃÇ˼ Ì Æ ÛØÓÒ ÔÓÐÝ ÓÒ Ø Ø Ó ÔÓ Ð ÐÓÔ Ó Å Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ò Å µ(s,t) Ò ÓÒÐÝ (s,t) N(P)º ÈÖÓÓ º Ç ÖÚ Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ö Ö Ò ÓÛ Ñ Ö ÐÝ ØÖ Ò Ð Ø Ø Æ ÛØÓÒ ÔÓÐÝ ÓÒ Û ÙÑ Ø Ø (x 0,y 0 ) = (0,0)º Ä Ø Ù Ö Ø ÔÖÓÚ Ø Ø (s,t) N(P) Ø Ò Ø Ö Ñ ÙÖ Ó ÐÓÔ (s,t) ÓÖ ÕÙ Ú ¹ Ð ÒØÐÝ M s,t (G n ) ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ ÓÖ n Ð Ö ÒÓÙ º ÓÖ ÓÒÚ Ò Ò Û Û ÐÐ ÙÑ Ø Ø Ø Ø Ó ÔÓ Ð ÐÓÔ ÐÓ º Ý Ä ÑÑ Ø ÓÐÙØ Ú ÐÙ Ó Ø Ó ÒØ z i w j Ò P(z,w) Ø Û Ø ÙÑ Ó Ñ Ø ¹ Ò Ó G Û Ø Ø Ò (i,j) Ø Ù Ø Ö Ñ Ø Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ÜØÖ Ñ Ð ÔÓ ÒØ Ó N(P) º º (s,t) Ò ÜØÖ Ñ Ð ÔÓ ÒØ Ó N(P) Ø Ò M s,t (G ) º ÁØ Ù ØÓ ÓÛ Ø Ø M s,t (G n ) Ò M s2,t 2 (G n2 ) Ö ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ ÓÖ ÓÑ n Ò n 2 Ø Ò Ms +s 2, t +t 2(G m ) 2 2 Ð Ó ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ ÓÖ ÓÑ mº ÁÒ Ý Ò ÙØ ÓÒ Ø ÐÐÓÛ ØÓ ÔÖÓÚ Ü Ø Ò Ó Ñ ÙÖ Ó ÐÓÔ (s,t) ÓÖ Ò Ù Ø Ó Ø Æ ÛØÓÒ ÔÓÐÝ ÓÒº Ì ÔÖÓÓ Ò Ý Ù Ò Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ø Ø Ó ÔÓ Ð ÐÓÔ ÐÓ º Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Û Ò ÙÑ Ø Ø n = n 2 ÓØ ÖÛ Ø Ø ÐÑ Ó Ø Ö Ô Ö Ó º ÓÒ Ö ØÛÓ Ñ Ø Ò Ó M s,t (G n ) Ò M s2,t 2 (G n ) Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ì ÙÔ Ö ÑÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ñ Ø Ò Ò Ø Ó Ó ÒØ ÐØ ÖÒ Ø Ò ÝÐ ÓÒ Ò Ò ÖÓÑ ÓÒ Ñ Ø Ò ØÓ Ø ÓØ Ö Ý ÖÓØ Ø Ò ÐÓÒ Ø ÝÐ º Á Ø Ø Ò ( s n, t n ) ( s 2 n, t 2 n ) Ó Ø ØÛÓ Ñ Ø Ò Ö ÙÒ ÕÙ Ð ÓÑ Ó Ø ÝÐ Ú ÒÓÒ¹Þ ÖÓ ÓÑÓÐÓ Ý Ò H (T 2,Z) Ó Ø Ø ÖÓØ Ø Ò ÐÓÒ Ø Ñ Û ÐÐ Ò Ø Ø Ò º ÇÒ Ø ØÓÖÓ Ð Ö Ô G 2n ÓÒ Ö ÓÙÖ ÓÔ Ó Ø ØÛÓ Ñ Ø Ò Ò Ø Ð Ó Ø ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÝÐ Ø Ö Ø Ò Û Ñ Ø Ò Û Ø Ø Ò ( (s +s 2 )n, (t +t 2 )n ) = ( s +s 2 2 2n, t +t 2 2 2n ) Ø Ù ÔÖÓÚ Ò Ø Ø (G m ) ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ ÓÖ m = 2nº Ms +s 2, t +t Ä Ø Ù ÒÓÛ ÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ñ ÙÖ µ(s,t) Ó ÐÓÔ (s,t) Ò ÔÖÓÚ Ø Ø (s,t) N(P)º ÒÓØ Ý E Ø Ø Ó Ö Ø Ó Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÑ Ò G = (V,E )º Ê ÐÐ Ò Ø Ø Ø Ú Ö Ò div Ð Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ó ÓÛ Ø Ø Ó ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Û Ø ¹ØÓ¹ Ð ÙÒ Ø ÓÛ Ò ÔÓÐÝØÓÔ Ó R E {ω R E : wb E, ω(b,w) = 0, 0 ω(w,b) ; w W, divω(w) =, b B, divω(b) = }. Ì Ñ ÔÔ Ò ψ Û Ò ØÓ ÓÛ ω Ø ØÓØ Ð ÙÜ ÖÓ γ x Ò γ y Ð Ò Ö Ñ ÔÔ Ò ÖÓÑ Ø ÔÓÐÝØÓÔ ØÓ R 2 ÑÔÐÝ Ò Ø Ø Ø Ñ Ó Ø ÔÓÐÝØÓÔ ÙÒ Ö ψ Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ó Ø Ñ Ó Ø ÜØÖ Ñ Ð ÔÓ ÒØ Ó Ø ÔÓÐÝØÓÔ º ÆÓÛ ÖÓÑ Ë Ø ÓÒ º½ Û ÒÓÛ Ø Ø Ú ÖÝ Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó G Ò ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Û Ø ¹ØÓ¹ Ð ÙÒ Ø ÓÛ Ø Ò Ú ÐÙ Ò {0,} ÓÒ Ú ÖÝ Ö Ø Ó E º Ì ÓÒÚ Ö Ò Ð Ó ØÖÙ Ø ÑÔÐ Ø Ø ÜØÖ Ñ Ð ÔÓ ÒØ Ó Ø ÔÓÐÝØÓÔ Ö Ú Ò Ý Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ º Ë Ò Ø Ö Ö Ò ÓÛ Ù Ø Ø (x 0,y 0 ) = (0,0) Ø Ñ Ó Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÙÒ Ö ψ Ø Ø Ò º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ñ Ó ÜØÖ Ñ Ð ÔÓ ÒØ Ó Ø ÔÓÐÝØÓÔ ÓÒØ Ò Ø ÜØÖ Ñ Ð ÔÓ ÒØ Ó Ø Æ ÛØÓÒ ÔÓÐÝ ÓÒ N(P) Ø Ñ Ó Ø ÔÓÐÝØÓÔ ÙÒ Ö ψ Ø Ù N(P)º Ì Ñ ÙÖ µ(s,t) Ó ÐÓÔ (s,t) Ò ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Û Ø ¹ØÓ¹ Ð ÓÛ ω µ(s,t) e = wb E, ω µ(s,t) (w,b) = µ(s,t)(e), ω µ(s,t) (b,w) = 0.

34 Ë Ò µ(s,t) ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ ÙÖ Ø ÓÛ ω µ(s,t) Ú Ö Ò ½ Ø Ú ÖÝ Û Ø Ú ÖØ Ü Ò ¹½ Ø Ú ÖÝ Ð Ú ÖØ Üº ÁØ Ø Ù ÐÓÒ ØÓ Ø ÔÓÐÝØÓÔ Ò Ø Ñ ÙÒ Ö ψ ÐÓÒ ØÓ N(P)º Ì ÔÖÓÓ ÓÒÐÙ Ý Ó ÖÚ Ò Ø Ø Ø Ñ Ó µ(s,t) ÙÒ Ö ψ Ø ÐÓÔ (s,t)º Ü ÑÔÐ º¾º ÙÖ º ÓÛ Ø Æ ÛØÓÒ ÔÓÐÝ ÓÒ Ó Ø Ñ Ö ÑÓ Ð ÓÒ Ø ÕÙ Ö ¹ÓØ ÓÒ Ö Ô Û Ø Û Ø ½ ÓÒ Ø º Å Ö ÔÓ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ ÑÓÒÓÑ Ð Ó Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð P(z,w) = 5 z z w w º ÙÖ º Æ ÛØÓÒ ÔÓÐÝ ÓÒ Ó Ø Ñ Ö ÑÓ Ð ÓÒ Ø ÕÙ Ö ¹ÓØ ÓÒ Ö Ô Û Ø ÙÒ ÓÖÑ Û Ø º º º ËÙÖ Ø Ò ÓÒ ÓÖ Ú ÖÝ (s,t) N(P) Ð Ø Z s,t (G n ) Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó M s,t (G n ) Ø Ø Z s,t (G n ) = M M s,t(g n) ν(m). Ì Ò Ý Ò Ø ÓÒ Ø Ö Ò Ö Ý Ó Ø Ñ ÙÖ µ(s,t) σ(s,t) = lim n n 2 logz s,t(g n ). Ì ÙÒØ ÓÒ σ : N(P) R ÒÓÛÒ Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒº Ë Ð Ë ¼ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ØÖ ØÐÝ ÓÒÚ Üº ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ó Ì ÓÖ Ñ ½ ÓÒ Ù Ø Ø Ø Ñ ÙÖ µ(s 0,t 0 ) Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ø ÓÒ Û Ñ Ò Ñ Ð Ö Ò Ö Ýº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ ØÖ ØÐÝ ÓÒÚ Ü Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ñ Ò Ñ Þ Ò ÐÓÔ ÙÒ ÕÙ Ò ÕÙ Ð ØÓ (s 0,t 0 )º º º ÓÒ ØÖÙØ Ò Ñ ÙÖ Ì ÓÖ Ñ ½¾ Ó Ë Ø ÓÒ º º½ ÔÖÓÚ Ò ÜÔÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø Ñ ÙÖ µ(s 0,t 0 ) Ó ÐÓÔ (s 0,t 0 )º ÇÙÖ Ó Ð ÒÓÛ ØÓ Ó Ø Ò Ò ÜÔÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø Ñ ÙÖ µ(s,t) Û Ø ÐÐ ÔÓ Ð ÐÓÔ (s,t)º Ê ÐÐ Ø Ø Ý Ì ÓÖ Ñ ½ Ø Ñ ÙÖ µ(s,t) Ø Ð Ñ Ø Ó Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ µ n (s,t) ÓÒ M s,t (G n )º Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ñ ÙÖ Ö Ö Ó Ø ØÓ ÛÓÖ Û Ø Ò ÓÖ Ö ØÓ Ó Ø Ò ÜÔÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ º ÙØ Û ÒÓÛ ÓÛ ØÓ Ò Ð Ø ÙÐÐ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ Û ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ñ ÙÖ Ó ÐÓÔ (s 0,t 0 )º ËÓ Ø ØÓ ÚÓ Ò Ð Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ñ ÙÖ ØÓ ÑÓ Ý Ø Û Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ø Ó G n Ò Ù

35 Û Ý Ø Ø Ñ Ø Ò Û Ø ÒÓØ Ö ÐÓÔ Ø Ò (s 0,t 0 ) Ø ÚÓÖ º À Ò Û Ö ÐÓÓ Ò ÓÖ Û Ø ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ò Û Û Ø Ó Ñ Ø Ò ÕÙ Ð ØÓ Ø ÓÐ Û Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ý ÕÙ ÒØ ØÝ Û Ô Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ø Ò º Ì Ò ÓÒ Ý ÒØÖÓ Ù Ò Ñ Ò Ø Ð ÓÓÖ Ò Ø ÓÐÐÓÛ º Ê ÐÐ Ø Ø γ x,n γ y,n Ö ÓÖ ÒØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ú ÖØ Ð ÝÐ Ò Ø Ù Ð Ö Ô G n Ó Ø Ò Ý Ø Ò n Ø Ñ Ø Ú ØÓÖ e x Ó Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ð ØØ Z 2 n Ø Ñ Ø Ú ØÓÖ e y Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ñ ÓÒ Ø ØÓÖÙ º Ì Ò ÓÒ G n Ø Ö Ö n ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÔ Ó Ø ÝÐ γ x,n Ò n Ú ÖØ Ð ÓÔ Ó Ø ÝÐ γ y,n º Ä Ø (B x,b y ) ØÛÓ Ö Ð ÒÙÑ Ö ÒÓÛÒ Ñ Ò Ø Ð ÓÓÖ Ò Ø º ÅÙÐØ ÔÐÝ ÐÐ ÖÓ Ò Ø n ÓÔ Ó Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÝÐ γ x,n Ý e ±Bx Ô Ò Ò ÓÒ Û Ø Ö Ø Û Ø Ú ÖØ Ü ÓÒ Ø Ð Ø ÓÖ ÓÒ Ø Ö Øº ÁÒ Ñ Ð Ö Û Ý ÖÓ Ò Ø n ÓÔ Ó Ø Ú ÖØ Ð ÝÐ γ y,n Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ý e ±By º Ì Ò Ñ Ò Ø ÐØ Ö Û Ø ÙÒØ ÓÒ ÒÓØ Ý ν (Bx,B y) Ø Ý Ò ÓÙÖ Ö ÕÙ Ö Ñ Òغ ÁÒ Ð Ø M 0 Ø Ô Ö Ó Ö Ö Ò Ñ Ø Ò Ó G n Ò ÒÓØ Ý x n 0 yn 0 Ø ØÓØ Ð ÙÜ Ó ωm 0 Ø ÖÓÙ γ x,n γ y,n º Ì Ò Ö Ù Ò Ò Û Ý Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ÓÒ Ò ÜÔÖ Ø Ñ Ò Ø ÐØ Ö Û Ø ÙÒØ ÓÒ ν (Bx,B y) Ø Û Ø ÙÒØ ÓÒ ν ÑÙÐØ ÔÐ Ý ÕÙ ÒØ ØÝ Û ÓÒÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø Ø Ò M M(G n ), ν (Bx,B y)(m) = ν(m)e nbx(hm x +xn 0 ) e nby(hm y +yn 0 ). º µ Ä ØP (Bx,B y)(z,w) Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ø Ö Ô G ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ø ÐØ Ö Û Ø ÙÒØ ÓÒº Ì Ý Ø Ø Ø P (Bx,B y)(z,w) Ò ÐÝ ÜÔÖ Ù Ò Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð P(z,w) Ó Ø Ö Ô G ÜÔÖ Ò P (Bx,B y)(z,w) Ù Ò Ä ÑÑ Ò Ö ÔÐ Ò ν (Bx,B y)(m) Ý Ø Ö Ø Ò Ó º µ Ò Ø Û Ö n = Ý Ð P (Bx,B y)(z,w) = P(e Bx z,e By w). Ä Ø Z (Bx,B y)(g n ) Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò µ n (Bx,By) Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ Ó Ø Ö Ô G n Û Ø Ø Ñ Ò Ø ÐØ Ö Û Ø ÙÒØ ÓÒº ÒÓØ Ý µ (Bx,B y) Ø Ñ ÙÖ Ó Ø Ò Û Ð Ñ Ø Ó Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ ÙÖ µ (Bx,By) n º Ì Ò Ö Ø ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ó Ì ÓÖ Ñ ½½ Ò ½¾ Û Ú ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ º ÃÇ˼ ÍÒ Ö Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø P(e Bx z,e By w) ÓÒÐÝ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Þ ÖÓ ÓÒ Ø ÙÒ Ø ØÓÖÙ T 2 lim n n 2 logz (B x,b y)(g n ) = (2πi) 2 log P(e B x z,e By w) dz dw T 2 z w. ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ º ÃÇ˼ Ä Ø {e = w b,...,e k = w k b k } Ù Ø Ó Ó Gº Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÙÒ ÕÙ ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ ÙÖ µ (Bx,B y) ÓÒ (M(G),σ(A)) Ù Ø Ø ( k ) µ (Bx,B y)(e,...,e k ) = K (Bx,B y)(w i,b i ) det(k (B (b x,b y) i,w j ) i,j k ), º µ i= Û Ö K (Bx,B y) Ã Ø Ð ÝÒ Ñ ØÖ Ü Ó Ø ØÓ Ø Ö Ô G Ò ÙÑ Ò b Ò w Ö Ò Ò Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÑ Ò K (B (b,w+(x,y)) = Q bw (e Bx z,e By w) x,b y) (2πi) 2 T 2 P(e Bx z,e By w) zy w xdw dz w z, Ò Q bw (z,w) Ø (b,w) Ð Ñ ÒØ Ó Ø Ù Ø Ñ ØÖ Ü Ó K (z,w) Ó Ø ÓÖ Ò Ð Ö Ô º

36 ËÓ Ø ÕÙ Ø Ö Ñ Ö Ð Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ò ÓÖ Ø Û Ø ÙÒØ ÓÒ ν Ð Ó Ý Ð Ø Ö ÙÐØ ÓÖ Ø Ñ Ò Ø ÐØ Ö Û Ø ÙÒØ ÓÒ ν (Bx,B y)º ÆÓØ Ø Ø Û Ú ÒÓØ Ý Ø Ö Ð Ø Ø Ñ Ò Ø Ð ÓÓÖ Ò Ø ØÓ Ø ÐÓÔ Ó Ø Ñ ÙÖ µ (Bx,B y)º Ì ÔÓ ØÔÓÒ ÙÒØ Ð Ë Ø ÓÒ º º¾º º È Ó Ø ÑÓ Ð ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö ÓÒ Ó Ø ÑÓ Ø ÙØ ÙÐ Ö ÙÐØ ÓÒ Ø Ô ÖØ Ø Ñ Ö ÑÓ Ð Ó Ø Ò Ý Ã ÒÝÓÒ Ç ÓÙÒ ÓÚ Ò Ë Ð ÃÇ˼ Ò Ñ ÐÝ Ø ÙÐÐ Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ô Ö Ñ Ó Ø Ñ Ö ÑÓ Ðº ÁØ ÒÚÓÐÚ Ñ Ò Ø Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò Ò Ó Ø ÖÓÑ Ð Ö ÓÑ ØÖÝ ÐÐ À ÖÒ ÙÖÚ º Û Ý ØÓ Ö Ø Ö Þ Ô Ý Ø Ö Ø Ó Ý Ó ¹ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º ÁÒ Ø Ñ Ö ÑÓ Ð Ø ÑÓÙÒØ ØÓ ØÙ Ý Ò ÝÑÔØÓØ Ó K (B º ÁÒ Ð Ø e x,b y) = w b Ò e 2 = w 2 b 2 ØÛÓ Ó G Û Ö Ø ÓÙ Ø Ó Ò Ö Û Ý ÖÓÑ ÓØ Öº Ä Ø I e Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Û Ø e ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò 0 Ð º Ì Ò Ù Ò Ø ÜÔÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø Ñ ÙÖ µ (Bx,B y) Ý Ð Cov(I e,i e2 ) = µ (Bx,B y)(e,e 2 ) µ (Bx,B y)(e )µ (Bx,B y)(e 2 ), = K (Bx,B y)(w,b )K (Bx,B y)(w 2,b 2 )K (B x,b y) (b 2,w )K (B x,b y) (b,w 2 ). Ì ÝÑÔØÓØ Ú ÓÖ Ó K (B x,b y) (b,w+(x,y)) x2 +y 2 Ø Ð Ö µ Ô Ò ÓÒ Ø Þ ÖÓ Ó Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖ ÓÒ Ø ÙÒ Ø ØÓÖÙ º º ÓÒ Ø Þ ÖÓ Ó P(e Bx z,e By w) ÓÒ Ø ÙÒ Ø ØÓÖÙ º À Ò Ø Ó Ð ØÓ ØÙ Ý Ø Ø {(z,w) T 2 : P(e Bx z,e By w) = 0} ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ Ø Ø Ì Ø Ù Ø Ó Ø Ò ÜØ Ø ÓÒº {(z,w) C 2 : z = e Bx, w = e By, P(z,w) = 0}. º º½ ÑÓ À ÖÒ ÙÖÚ Ò ÊÓÒ Ò ÙÒØ ÓÒ Ì ÑÓ Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð P C[z,w] Ò ØÛÓ ÓÑÔÐ Ü Ú Ö Ð ÒÓØ Ý A(P) Ò Ø Ñ Ó Ø ÙÖÚ P(z,w) = 0 Ò C 2 ÙÒ Ö Ø Ñ Ô (z,w) (log z,log w ). Ï Ò P Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ñ Ö ÑÓ Ð Ø ÙÖÚ P(z,w) = 0 ÒÓÛÒ Ø Ô ØÖ Ð ÙÖÚ Ó Ø Ñ Ö ÑÓ Ðº ÆÓØ Ø Ø ÔÓ ÒØ (x,y) R 2 Ò Ø ÑÓ A(P) Ò ÓÒÐÝ z = e x, w = e y Ò P(z,w) = 0º ÇØ ÖÛ Ø Ø ÔÓ ÒØ (x,y) R 2 Ò Ø ÑÓ Ò ÓÒÐÝ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð P(e x z,e y w) Ø Ð Ø ÓÒ Þ ÖÓ ÓÒ Ø ÙÒ Ø ØÓÖÙ º Ì Ø ÓÖÝ Ó ÑÓ Ö Ò ÙØ ÙÐ Ð Ó Ö Ö º Ì Ô Ô Ö Ï Ø ººº Ò ÑÓ Ò Ø ÒÓØ Ó Ø ÅË Ý ÇÐ Î ÖÓ Ú Ú ÖÝ Ò ÓÚ ÖÚ Û Ó Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ò ÓÚ Ö Ô Ö Ó Ó Ý Ö Ý È̼¼ à Š¼¼ Åʼ½ º ÁØ ÔÖÓÚ ÔÖ ÓÑ ØÖ Ô ØÙÖ Ó Ø Ó Ø Û Ú ÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø Æ ÛØÓÒ ÔÓÐÝ ÓÒ N(P) Ó Ë ¹ Ø ÓÒ º º º ÄÓÓ ÐÝ Ø Ø Ò ÑÓ Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð Ó ÙÖ º º Ò ÑÓ Ö Ò Ò ØÝ Ý Ú Ö Ð Ø ÒØ Ð º Ø ÒØ Ð ÓÑÑÓ Ø Ö Ý Ò Ò ÖÖÓÛ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ø ØÓÛ Ö Ø Ó Ø Ø Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ Ö Ý Ò Ø ÒØ Ð º